Раздел v дифференциальное исчисление функций одной переменной 5.1. производная

Раздел v дифференциальное исчисление функций одной переменной 5.1. производная

Пусть функция у /(х) определена в некоторой окрестности точки x.

dx ' dx

Первой производной {производной первого порядка) функции fix) в точкехназывают конечный предел отношения приращения функции Ay Д/(х) к приращению аргумента Ах при условии, что Дх стремится к нулю. Обозначения производной: /'(х), у', ух, оДх) йу

, Таким образом,

г,/ ч іАУ і/С* + Ах)f(x)

/ (х) hm — = lim — —J-^-L.

Лх-»0 Дх Дх-»0 Ах

Ау

Если в некоторой точке х lim — = °° (+°°, -°°) и функция /(х)

Дх-»0 Дх

непрерывна в точке х, то говорят о наличии у этой функции в точке X «беСКОНеЧНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ» /'(х) = оо (+оо; -оо).

Конечные или бесконечные пределы

/Чх) = lim Лх + Дх)-/(х) и = ш /(х + Дх)-/(х)

Дж-»-0 Дх Дх->+0 Дх

называют соответственно левой и правой производными функции Дх) в точке X.

Функция f(x) имеет в точке х производную/'(х) тогда и только тогда, когда односторонние производные f'_{x) и f'+{x) существуют и совпадают, т.е./'(х) =f'Jx) =f'+{x).

Операцию нахождения производной/'(х) называют дифференцированием функции f{x).

О Примеры.

1. Функция f{x) х2 имеет конечную производную при любом действительном х. В самом деле, при любом х

133

... . ,. (х + Ах)2 х2 2хАх + (Ах)2

f (х) lim hm —— Дх-»о Ах Дх-»о Ах

= lim (2х + Ах) = 2х.

Дх->0

Функция f{x) = yfx имеет в точке х 0 бесконечную производную. Действительно,

_,,„. *У0 + Ах 0 1

/ (0) = lim = lim , = +°о.

Дх->0 Дх Дх->0 Я(Ах)2

Функция fix) = е^ не имеет в точке х = 0 производной, хотя в этой точке существуют конечные односторонние производные. В самом деле,

0+Дх _ 1 рАх _ і

/ДО) = Urn = lim = 1,

Дх->+о Ах д*->+о Ах

|0+Дх| _ , -Дх _ 1

/_'(0)= lim- = Hm = = -1 (см. п. 4.11),

Дх->-0 Дх Дх->-0 Дх

ноЛ0)*/Д0).«