5.2. дифференцируемость и дифференциал функции
5.2. дифференцируемость и дифференциал функции
Дифференциалом dx независимой переменной х называют ее приращение Дх (dx = Ах).
Функция у=Дх) называется дифференцируемой в точке х, если в этой точке ее приращение Ау = Л(х)с1х + oc(dx), где А(х) — постоянная, a oc(dx) = o(dx) при dx -» 0, т.е. a(dx) является бесконечно малой высшего порядка малости по сравнению с dx.
Главную линейную относительно dx часть приращения A(x)dx называют первым дифференциалом (дифференциалом первого порядка) функции fix) в точке х и обозначают d/(x) или dy. Таким образом, dy=A(x)dx, так что
Ay-dy + o(dx).
Если функция fix) дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке.
Функция fix) дифференцируема в точке х тогда и только тогда, когда в этой точке существует конечная производная fix). При этом J(x) = fix), так что
dj>=/'(x)dx.
134
Из равенства Ay = dy + o(dx) при условии fix) Ф 0 следует, что при достаточно малых dx справедливо приближенное равенство
Ay~dy, или /(x + dx)=/(x)+/'(x)dx,
используемое в приближенных вычислениях.
Если функция f{x) дифференцируема в каждой точке некоторого промежутка, то говорят о дифференцируемости функции на этом промежутке. Если, кроме того, производная /'(х) непрерывна на данном промежутке, то говорят, что функция fix) непрерывно дифференцируема на этом промежутке.
О Примеры.
Функция у = xі дифференцируема при любом х, так как Ау = (х + dx)2-x2-2xdx + (dx)2 = 2xdx + o(dx). При этом dy = 2xdx.
Вычислить приближенно л/40.
Рассмотрим функцию /(х) = 4х. Ее производная fx) І Іусть х = 36, х + dx = 40. Тогда dx = (х + dx) х = 4; fix) = /36;
f'(x) = A= = }zОтсюда f(x + dx) = № 6 + ±■ 4 = 6^ = 6, (3). •
2V36 12 12 3
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы