5.2. дифференцируемость и дифференциал функции

5.2. дифференцируемость и дифференциал функции: Справочник по математике для экономистов, В.И. Ермаков, 2009 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Содержит материал, позволяющий анализировать экономические задачи и осуществлять расчеты. Отражены разделы линейной алгебры, математического программирования, сетевое программирование и планирование, обработка результатов измерений, статистический анализ.

5.2. дифференцируемость и дифференциал функции

Дифференциалом dx независимой переменной х называют ее приращение Дх (dx = Ах).

Функция у=Дх) называется дифференцируемой в точке х, если в этой точке ее приращение Ау = Л(х)с1х + oc(dx), где А(х) — постоянная, a oc(dx) = o(dx) при dx -» 0, т.е. a(dx) является бесконечно малой высшего порядка малости по сравнению с dx.

Главную линейную относительно dx часть приращения A(x)dx называют первым дифференциалом (дифференциалом первого порядка) функции fix) в точке х и обозначают d/(x) или dy. Таким образом, dy=A(x)dx, так что

Ay-dy + o(dx).

Если функция fix) дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке.

Функция fix) дифференцируема в точке х тогда и только тогда, когда в этой точке существует конечная производная fix). При этом J(x) = fix), так что

dj>=/'(x)dx.

134

Из равенства Ay = dy + o(dx) при условии fix) Ф 0 следует, что при достаточно малых dx справедливо приближенное равенство

Ay~dy, или /(x + dx)=/(x)+/'(x)dx,

используемое в приближенных вычислениях.

Если функция f{x) дифференцируема в каждой точке некоторого промежутка, то говорят о дифференцируемости функции на этом промежутке. Если, кроме того, производная /'(х) непрерывна на данном промежутке, то говорят, что функция fix) непрерывно дифференцируема на этом промежутке.

О Примеры.

Функция у = xі дифференцируема при любом х, так как Ау = (х + dx)2-x2-2xdx + (dx)2 = 2xdx + o(dx). При этом dy = 2xdx.

Вычислить приближенно л/40.

Рассмотрим функцию /(х) = 4х. Ее производная fx) І Іусть х = 36, х + dx = 40. Тогда dx = (х + dx) х = 4; fix) = /36;

f'(x) = A= = }zОтсюда f(x + dx) = № 6 + ±■ 4 = 6^ = 6, (3). •

2V36 12 12 3

Справочник по математике для экономистов

Справочник по математике для экономистов

Обсуждение Справочник по математике для экономистов

Комментарии, рецензии и отзывы

5.2. дифференцируемость и дифференциал функции: Справочник по математике для экономистов, В.И. Ермаков, 2009 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Содержит материал, позволяющий анализировать экономические задачи и осуществлять расчеты. Отражены разделы линейной алгебры, математического программирования, сетевое программирование и планирование, обработка результатов измерений, статистический анализ.