5.3. геометрический смысл производной и дифференциала

5.3. геометрический смысл производной и дифференциала: Справочник по математике для экономистов, В.И. Ермаков, 2009 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Содержит материал, позволяющий анализировать экономические задачи и осуществлять расчеты. Отражены разделы линейной алгебры, математического программирования, сетевое программирование и планирование, обработка результатов измерений, статистический анализ.

5.3. геометрический смысл производной и дифференциала

Касательной к графику функции у fix) в точке Af(x0; /(х0)) называют предельное положение секущей MN при произвольном стремлении точки Nk точке М по графику функции (или, что то же самое, при dx —» 0) (рис. 5.1).

Значение производной f'(x0) в точке х0 определяется угловым коэффициентом касательной, проведенной к графику функции Дх) в точке Af(x0; /(х0)), т.е. f'(x0) tgcp, где ф — угол между положительным направлением оси Ох и касательной, отсчитываемый против часовой стрелки (см. рис. 5.1).

Уравнение касательной к графику функции у fix) в точке Af(x0; Дх0)) имеет вид

y-f(x0)=f'ix0)ix-x0).

Если f'ix0) оо (-оо, -|-оо), то касательная к графику непрерывной функции fix) в точке Af(xQ; /(xQ)) перпендикулярна оси Ох

135

Рис. 5.1

(вертикальная касательная). Уравнение такой касательной имеет вид х = х0.

Величина дифференциала dy в точке х0 равна приращению ординаты касательной к графику fix) в точке М(х0; f(xQ)) при переходе от точки х0 к точке (х0 + dx) (см. рис. 5.1).

О Примеры.

1. Написать уравнение касательной к графику функции

= —. Следоваfix) = у[х в точке с абсциссой xQ = 4.

« , г. 1

Имеем f(xQ) = 74 = 2, /'(*)

136

5.4. Физический смысл производной и дифференциала

В каждой точке, где функция у=f(x) имеет конечную производную fix), последняя может быть интерпретирована как мера скорости изменения у относительно х. Замена приращения функции ее дифференциалом позволяет считать процесс изменения зависимой переменной «в малом» линейным относительно изменения аргумента.

О Примеры.

Если s = s(t) — закон движения материальной точки, определяющий зависимость пути s от времени t, то производная

ds

v = — определяет мгновенную скорость материальной точки в мо-dt

мент времени t. Дифференциал ds vdt определяет путь, который прошла бы материальная точка, двигаясь равномерно с мгновенной скоростью v в момент времени /, за промежуток времени от момента /до (/ + dt).

Если q q(t) — закон, определяющий зависимость количества электричества, протекающего через поперечное сечение проr dq

водника, от времени /, то производная I — определяет силу

dt

тока в момент времени /. Дифференциал dqIdt определяет количество электричества, которое могло бы пройти через поперечное сечение проводника при постоянной силе тока / в момент времени / за промежуток времени dt. •

5.5. Приложения производной к экономике

В практике экономических исследований широкое применение получили производственные функции, используемые для установления зависимостей выпуска продукции от затрат ресурсов, при прогнозировании развития отраслей, при решении оптимизационных задач. Например, производственная функция Кобба — Дугласа связывает выпуск у с величиной производственных фондов К и затратами живого труда L:

y = qKaL1~a,

где q и а — постоянные, т.е. является функцией двух переменных КиЬ (см. п. 4.1).

137

В предположении дифференцируемости производственных функций важное значение приобретают их дифференциальные характеристики, связанные с понятием производной. Так, если производственная функция у fix) устанавливает зависимость выпуска продукции у от затрат ресурсах, то/'(х) называют предельным продуктом, если же у fix) устанавливает зависимость издержек производства у от объема продукции х, то /'(*) называют предельными издержками.

Характеристикой относительного изменения прироста функции у Лх) ПРИ малых относительных изменениях прироста аргумента х является эластичность функции. Коэффициент эластичности є определяется по формуле

Подпись: dy dxПодпись: у ' х '

є = — : —

у'

или е у —

Коэффициент эластичности широко используют в исследованиях потребительского спроса на товары в зависимости от цен этих товаров или доходов потребителей. Высокий коэффициент эластичности означает слабую степень удовлетворения потребности; низкий указывает на то, что данная потребность высока.

Если производственная функция устанавливает зависимость выпуска j от л производственных факторов хр х2, хп в виде у = Лхр х2> •••> хг) (смп4-^)' т0 наиболее важными дифференциальными характеристиками такой функции являются:

ду

а) предельная эффективность фактора х.;

— предельная норма замены факторов х. и х.;

эластичность замены факторов Xj и

х,. (см.

138

Теоретический и практический интерес представляют производственные функции с постоянной (отличной от единицы) эластичностью замещения труда производственными фондами и с постоянной (переменной) отдачей на единицу масштаба производства.

Примером такого рода функций является функция CES (Constant Elasticity of Substitution)

y = C0[CL-P + (l-C)K<']-i/t},

для которой эластичность замещения равна ф 1; р, Сп и С —

1-р

постоянные.

Справочник по математике для экономистов

Справочник по математике для экономистов

Обсуждение Справочник по математике для экономистов

Комментарии, рецензии и отзывы

5.3. геометрический смысл производной и дифференциала: Справочник по математике для экономистов, В.И. Ермаков, 2009 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Содержит материал, позволяющий анализировать экономические задачи и осуществлять расчеты. Отражены разделы линейной алгебры, математического программирования, сетевое программирование и планирование, обработка результатов измерений, статистический анализ.