5.16. правило лопиталя раскрытия неопределенностей
5.16. правило лопиталя раскрытия неопределенностей
Если существует окрестность точки х а, в которой функции |/(х) и ф(х) дифференцируемы, за исключением, быть может, самой точки х а, ф'(х) Ф 0 и либо lim |/(х) = lim ф(х) = 0, либо
х->а х->а
148
lim V|/(x) = lim ф(х) = °°, то при условии существования lim ^ ^
х-¥а х->а х->а ф'(х)
существует и lim-1 , причем имеет место равенство (правило
х-»а ф(х)
Лопиталя)
IimlKW = limvM
х->а ф(х) х->а ф'(х)
(правило применимо и в случае, когда а бесконечно).
Замечание. Если отношение в точке х = а также предф'(х) О °°
ставляет неопределенность вида — или —, то при выполнении со0 °°
ответствующих условий правило Лопиталя может быть применено
У'О) и к , так что
х->о ф(х) х->а ф'(х) х^а ф"(х)
причем процесс, если это необходимо, можно продолжить.
Неопределенности вида 0 • °° или °° °° приводятся к неопре-0 °°
деленностям вида — или — с помощью алгебраических преобразо-0 °°
ваний.
Неопределенности вида 1°°, 0° приводятся к неопределен-0
ностям вида — или — с помощью предварительного логарифмиро-0 °°
вания.
О Примеры.
1. lim
*->2Х2 + 7х-18
V0y
lim: х->2 2х + 7 11
2. mn(x-4)tg^ = (0oo) = lim^:
х-»4 а х-¥4 . их
8
ctg—
= lim
х-»4 П 1 л 8 ■
sin
149
3. Вычислить предел lim (sinx)tg* = (Г°).
x-»7l/2
Сначала найдем предел логарифма данной функции: lim lr^sinx)18* = lim [tgxln(sinx)] = (°° • 0) =
x-¥n/2 x-¥n/2
ln(sinx) (0 CtgX
x-rn/2 ctgJC
Отсюда
. lim —-л— lim (-sinxcosx) 0.
0 J х->я/2 1 х->я/2
sin2x
lim (sinx)tgx = e° =l.e
x-mi/2
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы