5.17. признаки монотонности функции

5.17. признаки монотонности функции

Пусть функция у = f(x) определена и дифференцируема в интервале ]а, Ь[.

Для того чтобы функция f(x) была неубывающей (невозраста-ющей) в интервале ]а, Ъ[, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках интервала ]а, Ь[ производная f'(x) > 0 (/'(*) < 0).

Для того чтобы функция f(x) была строго возрастающей (строго убывающей) в интервале ]а,Ь[, достаточно, чтобы во всех точках интервала ]а, Ь[ производная f'(x) > 0 (f'(x) < 0).

О Пример. Для функции f(x) = х2е~х производная f'(x) = = хе~х(2 х). Поэтому f'(x) < 0, если х є ]-«>, 0[ и ]2, +°°[, и в этих промежутках функция f(x) строго убывает; f'(x) > 0, если х є ]0,2[, и в этом интервале функция строго возрастает. •

5.18. Экстремум функции

Если существует такая 8-окрестность точки х0, что для всех точек х Ф xQ и принадлежащих этой окрестности выполняется неравенство f(x) > f(xQ) (f(x) < f(xQ)), то точку х0 называют точкой нестрогого минимума (нестрогого максимума) функции f(x), а число f(xQ) — минимумом (максимумом) этой функции.

Если в указанной 5-окрестности выполняется строгое неравенство f(x) > f(x0) (f(x) < f(xQ)), то точку х0 называют точкой строгого минимума (строгого максимума).

Точки строгого и нестрогого максимума и минимума функции называют ее точками экстремума.

150

Если xQ — точка минимума функции f(x), то в указанной 5-окрестности точки х0 приращение функции АДх0) = Дх) -Дх0) > О (АДх0) > 0); если же х0 — точка максимума функции Дх), то АДх0) < 0 (АДх0) < 0) во всех точках 5-окрестности точки х0.

Пусть точка х0 является точкой экстремума функции Дх), определенной в некоторой окрестности точки х0. Тогда либо производная f'(x0) не существует, либо f'(x0) 0 (необходимый признак экстремума).

Точки, в которых производная функции Дх) не существует или обращается в нуль, называют критическими.

О Пример. Для функции f{x) = Щх(х 8) ее производная

Следовательно, fix) = 0 при х = 2;/'(х) не существует при х 0 (/'(0) = -°°). Таким образом, точки экстремума функции Дх), если таковые вообще имеются, находятся только среди критических точек х = 0их = 2. •

Достаточные условия строгого экстремума непрерывной функции:

Пусть функция Дх) дифференцируема в некоторой окрестности ]х0 6, х0 + 8[ критической точки х0, за исключением, быть может, самой точки х0, в которой тем не менее функция Дх) непрерывна. Если при этом в интервалах ]х0 8, х0[ и ]х0, х0 + 8[ производная f'{x) имеет противоположные знаки, то х0 — точка экстремума, причем:

а) если fix) > 0 при х є ]х0 8, х0[ и /'(х) < 0 при х є ]х0, х0 + 8[,

то х0 — точка строгого максимума функции;

б) если/'(х) < 0 при х є ]х0 8, х0[ и/'(х) > 0 при х є ]х0, х0 + 8[,

то х0 — точка строгого минимума функции.

Если же f'{x) сохраняет знак при всех х Ф х0, х є ]х0 8, х0 + 8[, то х0 не является точкой экстремума функции Дх).

Пусть f'(x0) 0, функция Дх) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки х0 и f"(x) непрерывна в этой окрестности. Тогда:

а) еслиf"(xQ) < 0, тох0 — точка строгого максимума функции Дх);

б) если f"(xQ) > 0, тох0 — точка строгого минимума функции Дх);

в) если f"(x0) 0, то вопрос о наличии экстремума остается

открытым.

151

3. Пусть/'(х0) =/"(х0) =... =/<^1)(дСо) 0, а/<">(х0) * 0. Тогда:

а) если и — четное, то при f^"x0) < 0 точка х0 является точкой строгого максимума, а при/(л)(х0) > 0 — точкой строгого

минимума;

б) если и — нечетное, то х0 не является точкой экстремума.

О Примеры.

Дана функция/(х) = у[х(х 8). Ее производная fix) = — ,— ,

3 \]х2

так что критическими являются точки х-0, х-2. При этом Д(х) < О как при х < 0, так и при 0 < х < 2 и, следовательно, согласно условию 1, точка х = 0 не является точкой экстремума функции fx). С другой стороны, fix) < 0 при 0 < х < 2 и fix) > 0 при х > 2; следовательно, х = 2 является точкой строгого минимума, а число /(2) = -6v2 — минимумом функции fix).

Рассмотрим функцию fix) =х3 Зх2. Ее производная fix) = Зх2 6х = Зх(х 2), так что fix) 0 при х = 0 и х = 2. Вторая производная fix) = 6х 6 и, следовательно, /"(0) = -6 < 0, а /"(2) = = 12 6 = 6 > 0. Тогда, согласно условию 2, точка х = 0 является точкой строгого максимума функции и /(0) = 0, а точка х = 2 — точкой строгого минимума и /(2) = -4.

Дана функция fx) = х4. Для этой функции fix) = 4х3, fix) 12х2, fix) 24х, fwix) 24, так что /'(0) /"(0) /"'(0) -= 0, a fwi0) = 24 > 0. Тогда, согласно условию 3, точках = 0 является точкой строгого минимума и /(0) = 0. •