1.6. обыкновенные и десятичные дроби

1.6. обыкновенные и десятичные дроби

Числа 0, ±1, ±2, ±3, ±4, ±5,... называют целыми. Отношение двух целых чисел рид принято называть обыкновенной дробью — (используюттакже записьp'.qnp/q). При этом целое 9

число р называют числителем, а целое число q Ф 0 — знаменателем дроби.

Если числар и q имеют общий делитель, отличный от единицы, то дробь можно сократить. Сокращение дроби производится делением числителя и знаменателя на их общий делитель. Результатом сокращения является дробь, тождественно равная данной дроби. Например, дробь 34/51 можно сократить на НОД(34, 51) = 17, так что 34/51 = 2/3.

Если р < q (см. п. 1.9), то дробь называют правильной; если р > q, то неправильной. Неправильная дробь может быть представлена в виде суммы целого числа и правильной дроби, т.е. в виде

8 2 2

смешанного числа. Например, = 2 + = 2-.

При сложении (вычитании) обыкновенных дробей а/Ь и c/d

поступают следующим образом:

а) находят НОК(й, d);

б) определяют дополнительные множители для каждой из данных дробей, т.е. находят такие числа г и t, что br-dtНОК(6, d);

7

в) строят искомую дробь в виде

ar±ct НОК(М)'

г) сокращают полученную дробь.

Например,

5_ 3 _ 5-2 + 3-3 _ 19. 7 1 _ 7-3-1-5 _ 16 _ 2 12 + 8 ~ 24 ~ 24' 40 24 ~ 120 ~ 120 ~ 15'

Умножение и деление обыкновенных дробей осуществляют по следующим правилам:

а с ас аса d ad Ъ d bd' b d be be'

при этом полученные результаты необходимо сократить, если это возможно. Например,

2 _3__U__A- З ,_9__ 3 14 _ 3• 14 _ 2 510 ~ 5-Ю ~ 25' 7 ' 14 ~ l' 9 ~ 7-9 ~ 3'

Числа, представимые обыкновенными дробями, называют рациональными. Все целые числа входят в множество рациональных чисел Q.

Конечной десятичной дробью называют дробь, знаменатель которой является целой положительной степенью числа 10. В этом случае дробь принято записывать без знаменателя, отделяя в числителе запятой (справа налево) столько знаков, сколько нулей в

3 1721 13

знаменателе. Например, — = 0,3; = 17,21; = 0,013.

10 100 1000

Бесконечная десятичная дробь имеет вид хй^с^с^су.лп..., где х0 — целое число, а каждая из величин xv х2, хп, ... принимает одно из значений 0, 1, 2,9.

Бесконечную десятичную дробь называют периодической, если в ее записи, начиная с некоторого места, бесконечно повторяется одна и та же группа цифр. Эту повторяющуюся группу цифр называют периодом дроби. В записи дроби период принято заключать в скобки. Например, дробь 1,6234234234... записывают в виде 1,6(234).

Если бесконечная десятичная дробь не содержит периода, ее называют непериодической.

В тех случаях, когда период дроби равен 0 или 9, дробь рассматривают как конечную. Здесь имеют место следующие правила:

8

х0,000...=х0; (х01),999...=х0; Xo^Xj..лл000... =x0,xlx2...xn (хп Ф0,п = 1,2, 3,...); х0^хт..(хп1) 999... = х0,х1х2...хй (хп*0, и = 1,2, 3,...). Например, 0,37(9) = 0,38(0) = 0,38.

Числа, представимые всевозможными десятичными дробями, называют действительными (вещественными).

Всякое рациональное число представимо либо в виде конечной, либо в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Например, 7/22 = 0,3(18); 3/16 = 0,1875. Все рациональные числа входят в множество действительных чисел R.

Действительные числа, не являющиеся рациональными, принято называть иррациональными. Всякое иррациональное число представимо в виде бесконечной непериодической десятичной дроби. Например, -Л = 1,414213...; к = 3,141592...; е = 2,718281... -иррациональные числа.

Для любого действительного числа х и для любого сколь угодно малого положительного рационального числа є найдутся два рациональных числа oCj и а2 такие, что 0Cj < х < ос2 и а2 о^ < є. Числа 0Cj и а2 называют приближенными значениями числах по недостатку и по избытку соответственно при заданной степени точности е. Например, 1,414 < >/2 < 1,415 с точностью до 0,001.