5.20. направление выпуклости графика функции

5.20. направление выпуклости графика функции

График дифференцируемой функции у fix) направлен выпуклостью вверх (выпуклостью в н и з) на интервале ]а, Ь[, если в пределах этого интервала он расположен ниже (выше) касательной, проведенной в любой его точке (рис. 5.8).

Достаточное условие выпуклости. Пусть функция у fix) определена и дважды дифференцируема на интервале ]а, Ь[. Тогда:

а) если fix) < 0 во всех точках интервала ]а, Ь[, то график

функции fix) направлен выпуклостью вверх на этом интервале;

б) если fix) > 0 во всех точках интервала ]а, Ь[, то график

функции fix) направлен выпуклостью вниз на этом интервале.

О Пример. Для функции fix) = 1/х(х 8) вторая производная 4 х + 4

fix) = — .— . Поэтому fix) < 0 при -4 < х < 0 и, следовательно, 9 jx5

154

на этом интервале график функции направлен выпуклостью вверх; f"(x) > 0 на интервалах ]-°°, -4[ и ]0, +°°[, следовательно, на этих промежутках график функции направлен выпуклостью вниз. •