6.7. экстремумы функций нескольких переменных

6.7. экстремумы функций нескольких переменных

Точка м0 є R" называется точкой локального минимума (максимума) функции дм), если существует окрестность sr(m0) точки м0 такая, что при всех м є s (м0) выполняется неравенство

дм0)<дм) (/(м0)>/(М)).

Точки локального минимума и локального максимума функции дм) называются точками экстремума этой функции.

По определению, точки экстремума функции всегда являются внутренними точками области определения этой функции.

164

Точка М0 є R" называется стационарной точкой функции ДМ), если в этой точке градиент функции ДМ) является нулевым вектором:

О Пример. Найти стационарные точки функции

/(М) = х2 ху+у2 + 9х 6у + 20.

Так как grad/= {їх у + 9; -х + 2у 6}, то для отыскания стационарных точек имеем систему уравнений

2х у + 9 = 0, -х + 2у 6 = 0,

откуда получим единственную стационарную точку М(-4; 1). •

Необходимое условие экстремума. Если в точке экстремума функции f(M) существуют все частные производные этой функции, то эта точка экстремума является стационарной точкой функции f(M), т.е.

— = 0, 1 = 1,...,П.

dx,

Заметим, что стационарная точка функции ДМ) может не быть точкой экстремума этой функции. Однако все точки экстремума функции находятся среди стационарных точек этой функции или точек, где не существуют ее частные производные.