6.4. дифференциал функции нескольких переменных

6.4. дифференциал функции нескольких переменных

Если функция/ (Л/) дифференцируема в точке Л/0, то линейная часть приращения функции /(Л/) в точке Л/0 называется ее дифференциалом df (Л/0) в точке Л/0, т. е.

df(Ma) = ~~(Л/,) Axt + ^ (А/в) Дх2 + ... +~ (М0) Дхя.

Можно считать, что

djC|=Ax|, d.x2 = Ах2, dxn=Дхл.

Тогда а/(А/0) = -(М>) d*i + — (А/0) <і*2+...+-^ (A/0) djc„.

OX] dx2 ox„

О Пример. Найти дифференциал функции f (М)—х]х2+ +хх}+хъ в точке А/0 (2; 1; -3).

Так как — = Ъхх2, ~=хх+2х2хъ, ~^ = х2+1, то ~ (А/0)=12,

дх дх2 Эх3 ох

8(А/0) = 2, — (А/0)=2 и d/ (А/0) = 12djc, 42dx2+ 2dx3. •

дх2 дху

Основное свойство дифференциала Если функция / (А/) дифференцируема в точке А/0, то при малых Дх|, Дх2, Ах„

Д/(А/о) «о/(А/о),

т. е. ДГ(Л/в)«— (А/о) Ддс,+— (А/о) Дх2 + ...+— (Л/0) Дхя.

Зхі дх2 Вхя