6.9. системы функциональных уравнений и неравенств
6.9. системы функциональных уравнений и неравенств
Рассмотрим систему функциональных уравнений и неравенств Фі х2, хп) = 0,
Ф* (*ь х2, х„) = 0,
Ф*+1 (*Ь *2, Х„)^0,
Фі(хь хг, хл)^0
(в частности, эта, система может содержать только уравнения или только неравенства).
Обозначим через V множество всех решений этой системы,
т. е. У={МеК"ФІ(А/) = 0, і=1, 2 к; Ф,(М)^0, i=k+l, /}.
Предположим, что функции Ф; (М), і=ї, 2 к, к+1, /,
непрерывны на всем пространстве R Тогда: 1) множество V замкнуто;
2) если множество V ограничено, а функция /(А/) непрерывна на множестве V, то она на этом множестве имеет наименьшее и наибольшее значения.
Рассмотрим множество Q = {Mei\"\<bl (М)^0, /= 1, 2, /},
где функции Ф( (Л/), 1=1,2 /, непрерывны на всем пространстве R".
Если Ф, (А/0)<0, i=l, 2, /, то А/0 является внутренней точкой множества Q. Если же А/0 — граничная точка множества Q, то Ф, (Л/о)=0 для некоторого і.
О Рассмотрим, например, множество
Q = {M(xu х2, *,)бК3|Ф, (М)=х2+х22+х]~4^0, Ф2 (М)=х2+х-2х^0}.
Точка Мі (0; 1; 1) является внутренней точкой множества Q, так как Ф, (Mi) = 2 < 0, Ф2 (Л/,) = К 0. Точки Мг (0; 0; 2) и Мъ (1; 1; 1) принадлежат границе множества Q, так как Ф, (Л/2) = 0, Фі (М2)= -4<0, Ф, (А/3) = 1 <0, Ф2 (Л/3) = 0. •
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы