6.12. наименьшее и наибольшее значения функции на множестве решений системы уравнений и неравенств

6.12. наименьшее и наибольшее значения функции на множестве решений системы уравнений и неравенств

Рассмотрим функцию f (Af) и ограниченное множество

У~{МєЯ"Ф,(М)=0, і = 1, 2, к;

Ф,(А/)<0, Ык + 1, ..,/}.

Предположим, что функции Ф, (Af), i=l, 2, к, fc+l, /,

дифференцируемы в любой точке А/Є И", а функция f {Af) дифференцируема на множестве V.

Отыскать наименьшее и наибольшее значения функции / (М) на множестве V можно следующим образом:

выявить все особые точки множества V;

найти все условно стационарные точки функции / (М) на множестве V;

в каждой из найденных точек вычислить значения функции f (М) и выбрать среди них две точки, в которых функция имеет наибольшее и наименьшее значения.

О Найдем, например, наименьшее и наибольшее значения функции

/(Л/)-(*-2)2 + 0-3)2

на множестве Q = {M (х, у)Ф (М) = хг + уг — 52^0}. Особых точек у множества Q нет. Поэтому найдем условно стационарные точки f(M) на множестве Q. Для этого составим систему

grad /= X grad Ф, ХФ(М) = 0,

откуда получим

'2 (х-2)= X (2х), '2(у-3) = Л(2у), Я (xz+^z-52)=0, ухг+у1-52^0.

Решив эту систему, найдем точки М, (2; 3), М2 (4; 6), М3 ( — 4; —6). Так как /(!/[) = (), /(Л/2) = 13, /(Мъ) = 117, то наименьшее значение/ (Л/) равно 0 и достигается в точке М (2; 3), а наибольшее значение равно 117 и достигается в точке Mj ( — 4; —6).