7.4. методы интегрирования
7.4. методы интегрирования
Метод разложения. Метод основан на разложении подынтегральной функции на сумму функций, каждая из которых является табличной.
О Примеры.
Xі xin Xі xdx = ~ + 2-—h+ C=
3 5/2 2
x dx+
1. J (x + y/x)2dx=:$ (хг + 2хy/x + x)dx = x2dx+2
■+-X'
y/x + + C,
2.
dx
sin X 4COS X
dx-
dx I dx
+ I —— =tgX — CtgX+C.
Метод замены переменной. Вводят новую переменную с помощью соотношения x = tp(t) и данный интеграл преобразуют следующим образом:
[f{x)dx=j\<t>(t)]q>'(t)dt,
где (р {/) •— дифференцируемая функция. О Примеры.
1. Вычислить JsinSxcbc. Делаем замену переменной: x = t}5, dx = df/5. Далее имеем
sin5xdx=
1 1 Г „
sinrdf= —-cos? + C = —cosSjc + C
5 5
2. Вычислить х у/х—2 dx.
Обозначим yjx~2 = i. Тогда x-2 = t2, x=t2 + 2, dx=2tdt. Далее имеем
J Xy/x^2dx=} (t2 + 2)t2tdt=2[$ /*d/+2j t2di] =
5 3 5 3
Метод интегрирования по частям. Интегрирование осуществляют с помощью формулы
J и dv = uv — { v du,
где и, v — дифференцируемые функции.
Для применения этой формулы подынтегральное выражение разбивают на две части, одну из которых принимают за и, а другую — за dv так, чтобы интеграл J vdu вычислялся проще, чем исходный.
О Пример. Вычислить J xinxdx.
Обозначим и — 1йх, dv=xdx. Тогда du=-dx, v= xdx= .
х 2
Inx—Xі + C. 2 4
Далее имеем
г<іх Xі
хй xdx=—In jc— ' I J
J 2 2}
Интегрирование правильных рациональных дробей.
Интегрирование правильных рациональных дробей начинаем
ют с разложения их на простейшие рациональные дроби
А Ах+в ,
, , где п — , 2, 3, ...—натуральные числа;
(х-а)" tf+px+q)"
х +px + q не разлагается на действительные множители, т. е. имеет только комплексно-сопряженные корни.
Простейшие рациональные дроби интегрируются с помощью следующих формул:
dx=Aln[x-a+C,
А , А „
dx = + С,
(х-а) (1-и)(х-в)
Ах+В А. , . , гВ-Ар ^ 2х+р
— dx = ~In I х2+рх+q + —=== arc tg —== + C.
x^px+q 2 рг yftq-p1
Дроби вида —Лх+В интегрируют с помощью формулы
{x1+px + q)
понижения степени
J tf+px + qf 2(п-1)(ч-^Ух*+рХ + д)"
Ар
В (2л-3)
2 /
2(n-i)^-^-' {x1+px+q) '
Разложение рациональных дробей на простейшие основано на
том, что любой многочлен (р(х) = а0х"+ а1х"~1 + ... + а„ может быть записан в виде произведения
(р (х) = а0(х-х1)(х-х2)... (х л:.), (7.1)
где xlt х2, .... хя — корни уравнения (р(х)=0.
Эти корни могут быть действительными и комплексными. Значения корней в разложении (7.1) могут повторяться (кратные корни). Вместе с комплексным корнем xJ=a] + i^i в выражении (7.1) имеется комплексно-сопряженный корень Xj—OLj—ifij. Произведение линейных множителей (х — Xj)(х — Xj), содержащих комплексно-сопряженные корни, может быть записано в виде x2+px+q. Многочлен (7.1) в этом случае принимает следующий вид:
Ф (х) = а0(х—xi )т> (х—х2Т' •■■{х — xk)mk х х tf+p^ + qj**1 ... (x2+p^ + q,)mk^, (7.2)
где xt, х2, .... хк — действительные числа; щ — кратности простых и комплексно-сопряженных корней 0=1. 2 к + 1).
Правильную рациональную дробь со знаменателем, имеющим вид (7.2), записывают как сумму простейших рациональных дробей:
Ах) ™
a0(x~xj) ...(х*+р,х + Ч1)
6-4Ї1
161
Приводя правую часть выражения (7.3) к общему знаменателю и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной х полученного выражения и исходной дроби, находят значения А±, А2, В„к+(, CMjt+/.
„ Г 2х2~х+
О Пример. Вычислить J г — ах.
J (х-1)(х1-2х + 3)
Имеем:
2^-*+1 _ А Вх+С A(x*-2x + 3) + (x~l){Bx+Q
(х-1)(х*-2х+3) х-1 х»-2х+3 (х-Щ^-гх+З)
_(A+B)x2+(-2A-B+Qx+3A~C
~ (х-1)(,х*-2х + 3)
Л + Я=2,
~2А~В+С=~1,=>А=В=1, С=2; ЪА-С=,
Г 2х*-х+1 . Г dx Г х+2 ;
dx= + =lnх-1 +
} (х~1)(х1-2х+Э) J*-l J х*-2х+Ъ
Ґ(1/2)(2х-2)+3 л , , J х*-2х+3 2
+ з|^^ = 1п|х-1| + 5іп1л:г-2л + 3| +
+ 3 Г—^-=lnlJC-l|-r--m|x2-2x+3| + -^arctg^ + C.
х*-2* + 3 2
1. . ■> ~ ~ , 3 х—1
-In х2-2х+3 +-^arctg—= 2 s/г
Интегрирование тригонометрических функций. Интегралы вида J cos*хsin хах, где ш, л — натуральные числа, вычисляют в зависимости от четности степеней тип следующим образом.
Если т или п — нечетные, то используют замену переменного
і ~ sin х ври т нечетном, f=cosx при л нечетном.
О Пример. cosxsin2xdx = f/ = sinx, dr=cosxdx]=J t2dt = Iі _ sin3x
=-+c=—+c. •
з 3
Если тип — четные, то используют формулы понижения степеней
. 7 1—cos2x , 1+cos2jc , siti2x
snrx = , COS X = , sinxcosx = .
2 2 2
О Пример. J cos2xsin2xdx=J' (cosxsinx)2dx=
1 — cos4jc
dx =
U 1 ■ a
~ [ x— sin4x
8 4 ;
2
+ C.
Интегралы вида Ji{(sinx, cosx)dx, где i?(sinx, cosx)— рациональная функция от sinx, cosx, приводят к интегралам от рациональных функций переменной / с помощью следующей
х _
подстановки: f=tg-. Тогда
2
2d/ . It 1dx = , sinx= , cosx=— „
l + f l + t2 l+i1
О Пример. — = '= = ln / +C=
J smi J (l+r1)* J t
x
= ln tg
Интегрирование иррациональных функций. Некоторые интегралы от иррациональных функций могут быть приведены к интегралам от рациональных функций с помощью следующих подстановок:
Интеграл Подстановка
jR{x, l/ax+b) dx, ax+b — t",
R(xm, ;/axm+b)xm-[dx, axm+b = t
I R(x, yfa2—x2)dx, x=asinx, J R(x, y/a2+x2)dx, x=ai\%t.
О Пример.
J x-sj —x2dx=| x=sin t, dx=cos/d/| = = J sin/cos2fdr=|cosf=u, — sin;d/=du|=
r 1 . "э л cos3/ л
= -f u2du= + C= + C=
J .3 3
7.5. Определенный интеграл. Основные понятия
Интегральной суммой для функции y=f(x) на отрезке [а, Ь]
я
называется выражение £/(х() Лх„ где я — число «элементарных»
i-i
отрезков, на которые разбивается отрезок [а, Ь] х,— произвольная точка внутри отрезка [х,_], хл, длина которого равна Дх, (рис. 7.1).
Определенным интегралом функции у=/(х) на отрезке [а, Ь] называется предел интегральной суммы при стремлении к нулю длины наибольшего «элементарного» отрезка:
J/(x)dx=lim t/(xf)Ax„
a i-I
max| Дх,]-»0.
Число а называют нижним пределом инатегрирования, b — верхним пределом.
Рис. 7.2
Определенный интеграл имеет геометрический смысл. Интегь
рал j f(x) dx численно равен площади криволинейной трапеции,
ограниченной графиком функции y=f(x) > 0, осью Ох и прямыми х=а, х=Ь (рис. 7.2).
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы