7.11. обыкновенные дифференциальные уравнения

7.11. обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную х, функцию у и ее производные:

П*. У. У' /°) = о.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, входящей в это уравнение. Дифференциальное уравнение л-го порядка вида

у-Я)=Г(х,у,у' /"") (7.5)

называется разрешенным относительно высшей производной.

Решением дифференциального уравнения л-го порядка называется всякая функция у—<р(х), определенная для значений х на конечном или бесконечном интервале, имеющая производные до л-го порядка включительно и такая, что подстановка этой функции и ее производных в дифференциальное уравнение обращает последнее в тождество по х.

Нахождение решений дифференциального уравнения называется интегрированием этого дифференциального уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения (7.5) называется такое его решение

y=q>(x, Clt С2, .... С),

которое содержит столько независимых произвольных постоянных Clt С2, С„, каков порядок этого уравнения.

В результате решения дифференциального уравнения нередко приходят к зависимости, в которой у явно не выражается через х, т. е. получают выражение

Q(x,y, Су, С2 С)=0. (7.6)

Равенство вида (7.6), неявно выражающее общее решение дифференциального уравнения, называется общим интегралом этого дифференциального уравнения.

О Пример. Решением дифференциального уравнения второго порядка у "+у = 0 является, например, функция у=sin х.

В самом деле, y' = cosx, у" = — sin х. Подставив выражения для у и у" в уравнение, получаем тождественное равенс о — sinjc+sinjr = 0. Функции y=C1SlQX, j = C2cosjc, где и С2 — произвольные постоянные, также являются решен* данного уравнения.

Во многих случах требуется находить решения дифферен: ального уравнения, удовлетворяющего некоторым дополните ным условиям. Например, задача Коши состоит в отыскаь решения дифференциального уравнения (7.5), определенного в которой окрестности точки х0 и такого, что

У(х0)=у0, У'(х0)=Уи УІ"~,)(хс>)=у^1,

где Уо> У Уп-1 —■ заданные числа. (

О Пример 1. Найти решения дифференциального уравнения;

у'=х, удовлетворяющего начальным условиям у (х0) = у0. Интегрируя левую и правую части уравнения, находим

где С — произвольная постоянная. Подставляя начальные услоXі

вия, определяем С: С—у0—-. Искомое решение примет вид

У = -+Уо—2.

Это решение определено на всей числовой оси. Ф

О Пример 2. Решение дифференциального уравнения у'+у2 = 0, удовлетворяющего условию у(0) = 1, имеет вид

У(*)-~ ■

1 +х

Это решение определено, на полуоси ] — 1, + оо[. Ф

Кроме задачи Коши для дифференциального уравнения (7.5) решаются также краевые задачи. Например, для дифференциального уравнения второго порядка y"=f(x,y, у') отыскивают решение на отрезке [*о> -*J такое, что выполняются граничные (краевые) условия у(х0)=у0, уіх^УіО Пример 3. Найти решение уравнения у" = 4х, удовлетворяющего граничным условиям у(0) = , у() = ^.

Последовательно интегрируя уравнение, находим 2

y' = 2x2+Cl7 y~'X3 + Ctx+C2. Подставим в выражение для

у граничные условия. Получим С = 0, Сг — . Искомое решение таково:

• 2 .

у = ^хъ+1. ф