8.3. признаки сходимости положительных числовых рядов
8.3. признаки сходимости положительных числовых рядов
Признаки сравнения. Если все члены рядов
а1+а1 + „.+ая + ..., (1) Ь1+Ь2 + ...+Ьл + ... (2)
не отрицательны и о,^ія, п = 1, 2, 3..., то из сходимости ряда (2)
следует сходимость ряда (1), а из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).
Если все члены рядов (1) и (2) положительны и существует
lim —=k, 0<jfc< + со, то эти ряды сходятся или расходятся одноn-»CD ЬЯ
временно.
О Пример. Ряд -+-++...+— + ... расходится, так как гар-2462л
,111 моническии ряд 1+-++ ...Н—h ... расходится и
2 3 л
lim1/^ = limn/(2n)=l/2. •
я-* со 1/л л-*оо
Признак Коши. Если все члены ряда а1 + о2 + ... + а,+...
не отрицательны и существует lim ffa» = q, то при q < 1 этот ряд
Л-ЮО
сходится, а при q> 1 расходится. (При q = 1 признак Коши не дает возможности судить о поведении ряда.)
_ „ „ 2 г1 г
О Пример. Ряд Н н...н Ь... сходится, так как
її2 ii-ii
lim yfa„= lim »/ = lim = 0< 1. #
Л-+30 Л-.00 / и я-»ооЛ
Признак Даламбера. Если все члены ряда а1 + а2 + ...+ая+...
положительны и существует lim — d, то при rf< 1 этот ряд
Л-.00 йя
сходится, а при d> 1 ряд расходится. (При d—l признак Даламбера не дает возможности судить о поведении ряда.)
„ „ 3 За з"
О Пример. Рад н (-... - h... сходится, так как
1! 2! л!
з" з"+1 а 3
в„=—, ав+1= и lim = lim = 0<1. •
л! (л + 1)! »-*» «я Я-.00Л + 1
. Интегральный признак сходимости Коши. Если а„=/(л), «=1. 2, где Дл)— значение при х=л некоторой функции f(x), непрерывной, положительной и невозрастающей при х>1, то ряд а1 + а2 + ... + а„ + ... сходится или расходится
ь
в зависимости от того, существует или нет конечный lim J/(x)dx.
„«12 л
О Пример. Ряд 1 I-...H h... расходится, так как
1 + 1J 1+22 1+л2
х
функция fix)— является положительной, непрерывной и не1 +JC2
возрастающей при х > 1 и
lim J/(x)dx= lim J^=-lim [ln(l+62)-ln2]= + оо. • *
8.4. Абсолютная и условная сходимость рядов
Числовой ряд
и1 + иг + ... + ия + ... (8.1)
называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов:
КІ + КІ + ... + КІ + .... (8.2)
Абсолютно сходящийся ряд всегда сходится. Если сам ряд (8.1) сходится, а ряд (8.2) расходится, то говорят, что ряд (8.1) сходится условно.
Теорема Лейбница. Ряд
Cj -с2 + с3-сл + .., + (-1)"~1 с„ + ...,
где все с„>0, сходится, если последовательность {с} невозраста-ющая и lim с„ = 0.
Л-.00
В этом случае для остатка ряда справедлива оценка |гл|^с,+,,п = 1,2, 3, ....
Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов
1 °. Если ряд сходится абсолютно, то новый ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму, что и исходный ряд.
2°. Если ряд сходится условно, то, какое бы число В ни взять, можно так переставить члены в этом ряде, чтобы сумма преобразованного ряда была равна именно В.
3°. Если ряд сходится условно, то можно так переставить члены в этом ряде, что новый ряд будет расходиться.
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы