9.11. экономическая интерпретация двойственности в линейном программировании
9.11. экономическая интерпретация двойственности в линейном программировании
Как правило, если исходная задача имеет определенный содержательный смысл, то и двойственная ей задача имеет естественную интерпретацию. При этом теоремы двойственности также получают содержательную трактовку.
Рассмотрим, например, следующую ситуацию. Имеется т видов ресурсов в количестве bit Ьг, .... Ь„ единиц соответственно. Известно, что на основе имеющихся ресурсов можно выпускать продукцию и различными способами. При этом за единицу времени использования /-го способа (j=l, 2, п) расходуется Qij единиц /-го ресурса (/=1, 2, т) и выпускается продукция, обладающая ценностью с} единиц. Как же оценить имеющиеся ресурсы в зависимости от возможностей нашего производства?
Производственную программу в данном случае можно охарактеризовать вектором a = (jCj,; х2; хп), где х}— время использования 7-го способа производства, причем
я
Y.aijXj^b,, i=l, 2, т,
xj>0,;=l, 2, л.
Пусть Да) — ценность продукции, выпущенной при использовании производственной программы а. Тогда
л
Если у і — некоторая оценка единицы ресурса 1-го вида (і= 1, 2, ...
т
/и), то величина £ al}yt будет оценкой всех ресурсов, расходу-1-1
емых в единицу времени при использовании у-го способа производства. Эта величина не может быть меньше ценности выпущенной при тех же условиях продукции. (Иначе часть ценности выпускаемой продукции возникает из «ничего».) Следовательно, имеем
т
^ацу&с},}=,2, ...,п, ■-і
Уі^О, /=1, 2, т.
Величина
<р{В)=±ЬіУі.
1-І
является оценкой всех имеющихся ресурсов при векторе оценок
Р=(уі, у і, у*.)Для любой производственной программы а и при любом векторе оценок р выполняется неравенство
о»),
т. е. ценность всей выпущенной продукции не превосходит суммарной оценки имеющихся ресурсов (см. свойство 1° п. 9.9). Значит, величина
Д(а,/Ї)=<?(/?)-Да)
характеризует производственные потери в зависимости от рассматриваемой призводственной программы и от выбранных оценок ресурсов.
Производственную программу и вектор оценок следует выбирать так, чтобы величина потерь была наименьшей. Для этого достаточно производственную программу а подобрать так, чтобы /(а) было как можно больше, а вектор оценок р взять таким, чтобы q>(fi) было как можно меньше. Получаем симметричную пару взаимно двойственных задач:
я т
/= Е cjxj (max)> 9=£b* У' (min)'
j-i і-і
n m
Xj^0,j= 1, 2, n; jHi^O, j'=1, 2, m.
Из первой теоремы двойственности следует, что при оптимальной производственной программе и при оптимальном векторе оценок ресурсов производственные потери равны 0.
Из второй теоремы двойственности в данном случае следуют такие требования на оптимальную призводственную программу а° = (х?; ...: х.°; х^) и оптимальный вектор оценок Г=»ї, ...,УЇ ..;УЇ):
если у°>0, то £а,,х° = 6,, если ^аих^<Ьь то уЧ=0,
(9.37)
7-1
если х°>0, то £\%>>,■ = с,, 1-І
еСЛИ ^flyJ^Cy, то х° = 0.
(9.38)
Условия (9.37) можно интерпретировать так: если оценка Уі единицы ресурса 1-го вида положительна, то при оптимальной производственной программе этот ресурс используется полностью, если же ресурс используется не полностью, то его оценка равна 0.
Из условий (9.38) следует, что если у'-й способ используется в производстве, то он в оптимальных оценках неубыточен, если же у'-й способ убыточен, то он в производстве не используется.
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы