9.11. экономическая интерпретация двойственности в линейном программировании

9.11. экономическая интерпретация двойственности в линейном программировании: Справочник по математике для экономистов, В.И. Ермаков, 2007 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Предназначен для студентов экономических вузов. Может быть использован аспирантами и преподавателями вузов и колледжей, а также экономистами различных специальностей в практической работе.

9.11. экономическая интерпретация двойственности в линейном программировании

Как правило, если исходная задача имеет определенный содержательный смысл, то и двойственная ей задача имеет естественную интерпретацию. При этом теоремы двойственности также получают содержательную трактовку.

Рассмотрим, например, следующую ситуацию. Имеется т видов ресурсов в количестве bit Ьг, .... Ь„ единиц соответственно. Известно, что на основе имеющихся ресурсов можно выпускать продукцию и различными способами. При этом за единицу времени использования /-го способа (j=l, 2, п) расходуется Qij единиц /-го ресурса (/=1, 2, т) и выпускается продукция, обладающая ценностью с} единиц. Как же оценить имеющиеся ресурсы в зависимости от возможностей нашего производства?

Производственную программу в данном случае можно охарактеризовать вектором a = (jCj,; х2; хп), где х}— время использования 7-го способа производства, причем

я

Y.aijXj^b,, i=l, 2, т,

xj>0,;=l, 2, л.

Пусть Да) — ценность продукции, выпущенной при использовании производственной программы а. Тогда

л

Если у і — некоторая оценка единицы ресурса 1-го вида (і= 1, 2, ...

т

/и), то величина £ al}yt будет оценкой всех ресурсов, расходу-1-1

емых в единицу времени при использовании у-го способа производства. Эта величина не может быть меньше ценности выпущенной при тех же условиях продукции. (Иначе часть ценности выпускаемой продукции возникает из «ничего».) Следовательно, имеем

т

^ацу&с},}=,2, ...,п, ■-і

Уі^О, /=1, 2, т.

Величина

<р{В)=±ЬіУі.

1-І

является оценкой всех имеющихся ресурсов при векторе оценок

Р=(уі, у і, у*.)Для любой производственной программы а и при любом векторе оценок р выполняется неравенство

о»),

т. е. ценность всей выпущенной продукции не превосходит суммарной оценки имеющихся ресурсов (см. свойство 1° п. 9.9). Значит, величина

Д(а,/Ї)=<?(/?)-Да)

характеризует производственные потери в зависимости от рассматриваемой призводственной программы и от выбранных оценок ресурсов.

Производственную программу и вектор оценок следует выбирать так, чтобы величина потерь была наименьшей. Для этого достаточно производственную программу а подобрать так, чтобы /(а) было как можно больше, а вектор оценок р взять таким, чтобы q>(fi) было как можно меньше. Получаем симметричную пару взаимно двойственных задач:

я т

/= Е cjxj (max)> 9=£b* У' (min)'

j-i і-і

n m

Xj^0,j= 1, 2, n; jHi^O, j'=1, 2, m.

Из первой теоремы двойственности следует, что при оптимальной производственной программе и при оптимальном векторе оценок ресурсов производственные потери равны 0.

Из второй теоремы двойственности в данном случае следуют такие требования на оптимальную призводственную программу а° = (х?; ...: х.°; х^) и оптимальный вектор оценок Г=»ї, ...,УЇ ..;УЇ):

если у°>0, то £а,,х° = 6,, если ^аих^<Ьь то уЧ=0,

(9.37)

7-1

если х°>0, то £\%>>,■ = с,, 1-І

еСЛИ ^flyJ^Cy, то х° = 0.

(9.38)

Условия (9.37) можно интерпретировать так: если оценка Уі единицы ресурса 1-го вида положительна, то при оптимальной производственной программе этот ресурс используется полностью, если же ресурс используется не полностью, то его оценка равна 0.

Из условий (9.38) следует, что если у'-й способ используется в производстве, то он в оптимальных оценках неубыточен, если же у'-й способ убыточен, то он в производстве не используется.

Справочник по математике для экономистов

Справочник по математике для экономистов

Обсуждение Справочник по математике для экономистов

Комментарии, рецензии и отзывы

9.11. экономическая интерпретация двойственности в линейном программировании: Справочник по математике для экономистов, В.И. Ермаков, 2007 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Предназначен для студентов экономических вузов. Может быть использован аспирантами и преподавателями вузов и колледжей, а также экономистами различных специальностей в практической работе.