9.25. простейшие задачи вариационного исчисления

9.25. простейшие задачи вариационного исчисления

Последовательность п функций Х (t), х2 (/), хп (t), определенных на некотором отрезке [/0, 7]> называется вектор-функцией х (г) на этом отрезке, т. е.

£(/) = {*! (t);x2(ty,...;x„(t)}. (9.78)

Вектор-функция (9.78) называется дифференцируемой, непрерывной или кусочно-непрерывной на отрезке [t0, Т, если все функ

Л*<0] =

•(х, ^, t^dt. x(t)eV; (9,79)

о

3) допустимое множество Q состоит из вектор-функций х (t) = {xl(t); jc2 (/); ...; хП (t)}, удовлетворяющих начальным условиям

*(/о) = *° (9.80)

и конечным условиям вида

x,(T) = xf, ієі, J<=N={1, 2, .., и}. (9.81) Если I=N, то конечные условия (9.81) можно записать в виде

х (Т) = хГ, где xT={xf; xl; ...; х^.

Задаче вариационного исчисления в форме Лагранжа можно придать следующий экономический смысл.

Рассмотрим некоторую развивающуюся экономическую систему. Предположим, что траектория развития системы может быть описана вектор-функцией

*(')={*! (0; *z (0; ...;*„(')},

где х (t) — состояние системы в момент времени t, t0^t^T.

В этом случае функционал (9.79) можно интерпретировать, например, как затраты на траекторию развития х (/) в течение времени от /0 до Т. Тогда задача минимизации

(9.79)—(9.81) — это задача выбора оптимальной траектории развития экономической системы, т. е. траектории, удовлетворяющей заданным начальным и конечным условиям (9.80)—(9.81), при которой затраты будут наименьшими.

Если х (/) = {*, (/); х2 (/); хя (/)} — дифференцируемая вектор-функция, то положим

dl

dx (,)

и <0=т. е. и (/)={и, (t); щ (t);-„.; ип (*)}, где щ(i) = A^,j=, 2, л

01

Задачу минимизации (9.79)—(9.81) можно записать в виде

Я*)=

77 (х, и, г) dt (min),

(9.82)

где

5(0=

(9.83)

при условии, что

х (to)-х, (T) = xJ, іє/, / с JV={1, 2 л}.

Функция

(9.84) (9.85)

Н (ф, х, и, 0= Ё Ф} (0 • «, (0-^ (х, й, t),

где ф (і) = {ф{ (t); ф2 (0; Ф* (0} — некоторая вектор-функция на отрезке [(0, 7], называется функцией Гамильтона для задачи '(9.82)—(9.85).

Для задачи (9.82)—(9.85) имеет место следующее необходимое условие оптимальности. Пусть функция F (х, и, f) непрерывно дифференцируема, как функция своих аргументов. Если непрерывно дифференцируемая вектор-функция х* (/) является оптимальным решением задачи (9.82)—(9.85), то существует непрерывная вектор-функция ф* (і) = {ф (і); ф (')і Фя (0} такая, что пара

х* (i), iff* (t) удовлетворяет следующим условиям:

dii. ■ dF

-р = -,І=1,2, л;

dt 3xj

^=0,7=1,2, .... и; Bui

3) ф, (7) = 0, ieNI, где Н (ф, х, и, t) — функция Гамильтона.

Приведенное необходимое условие оптимальности не является достаточным.

Для того чтобы х* (/) было оптимальным решением задачи (9.82)—(9.85), достаточно, чтобы выполнялось неравенство

f[x*(t)+n(t)]-f[x*(t)}>0 (9.86)

при любой дифференцируемой вектор-функции H (Г) = {А, (/); h2 (t); К (')} такой, что А, (/0) = 0,/= 1, 2, л, А, (7)=0, /є/. Рассмотрим задачу минимизации

і

(«f+"l+4x2)d/,

о

d,r, dxj где Ui=—, и2 =—, при условиях, что dr dt

jel(0) = JtI(0) = 0,x1(l)=l.

В данном случае функция Гамильтона имеет вид

# = ф ,Ui + ^2ц3 (ы Ї+и І + 4х2).

Необходимое условие оптимальности дает следующие соотношения:

.1)^1-0,^ = 4; dt dt

^-2и, = 0, ^2-2к2=0;

^(1) = 0.

Из этих условий получаем: ф = си ф2 = 4і—4, «і —~> u2 = 2f —2. Так как

d^i djc2

— =Иі, — = «2, d< d/

то x|=f+c2, x2=/z —2/ + сэ. Из условий, x, (0)=x2 (0)=0,

2

xt (1)= 1 найдем ЛГ[ = t, x2 — t2-2t. С помощью достаточного

условия (9.86) можно проверить, что вектор-функция х* (') — {'! t2 — 2t) является оптимальным решением нашей задачи. #

9-421 257

9.26. Задачи оптимального управлення

Оптимизационная задача (V, f, П) называется задачей оптимального управления, если:

1)_ V— множество пар вектор-функций х (с), и (г), где функция х (t)={xi (t); хг (t); х„ (t)) дифференцируема, а функция и (t) = {uj (0; иг (/);и„ (/)} кусочно-непрерывна на отрезке [t^ 7] (tQ, Т фиксированы);

2) целевая функция /имеет вид

Т !

f[x(t)rZ(t)]^ F(x, u,t)dt; (g.g?)

3) допустимое множество Q £ V удовлетворяет следующим условиям:

а) 65Ц^ [хг и, t]J= 1, 2, п, (9.88)

dr

б) при любом t, t0^t^T,

u(t)eU, (9.89)

где U—фиксированное замкнутое подмножество пространства R";

в) х (t0) = x°, (9.90)

Xi (X)=xJ, ієі, I £ N={1, 2, «}. (9.91)

Например, задача вариационного исчисления (9.82)—(9.85) является задачей оптимального управления.

Экономический смысл задачи оптимального управления. Рассмотрим некоторую экономическую систему. Предположим, что в каждый момент времени t, t^t^T, на эту систему можно оказывать управляющие воздействия

и, (0, Щ (/), .-, ит (0,

которые выбираются из некоторого допустимого множества U.

Вектор-функция й (t) — {u, (t); щ {t);ит (t)}, (D<t^Т, называется управлением системой.

Если скорость изменения состояния системы в каждый момент времени t зависит от самого состояния х {/) = {х, (t); х2 (/);

...; хя (()}, от управления и it) в от момента времени /, то

dxj -r=fj[x, и, t],j=, 2, п. of

При заданном управлении ы (t) решение этой системы дифференциальных уравнений является некоторой траекторией развития экономической системы. Траектория развития системы должна удовлетворять некоторым начальным и конечным условиям.

Если и {/) — улравлеш^ a x(t) — определяемая им траектория развития, то пара {х (ґ), и (/)} называется управляемым процессом. Будем считать, что затраты /(х, и) на управляемый процесс (х, и) можно вычислить по формуле

fix, «) =

F [х, и, t] dt.

Таким образом, задача оптимального управления (9,87)— (9.91) — это задача выбора оптимального управляемого процесса, т. е. управляемого процесса, удовлетворяющего всем приведенным условиям, при котором затраты будут наименьшими.

Функция

л

И х, и, 0= S (0 fj (х, й, t)-F(x, й, І), J-i

где і/г (0={^і (0; Ф2 (0; <К (0} — некоторая вектор-функция на [/о, Т, называется функцией Гамильтона для задачи (9.87)—(9.90) (если отсутствует условие (9.91)).

Необходимое условие оптимальности для задачи оптимального управления (принцип максимума Понтрягина). Пусть функции F (х,

«j 0>7j ix> w> 0, j— 1, 2, n, непрерывно дифференцируемы. Если

(х* {t), и* it)] — оптимальное решение задачи минимизации (9.о7)—(9.90), то существует непрерывная вектор-функция ^* (0 = {<К (0; Ф'ЛО; Ф (0} такая, что функции х* (0, и* (0, ty* it) удовлетворяют следующим условиям1.

dr Bxj

Ф:іТ) = 0, 1=1,2, ...,д;

при каждом ге[г0, TJ функция Я (х* (0, (0> 0 достигает при ы= й* (?) максимума по всем uell. Н (х, и, fy, і) — функция Гамильтона для задачи (9.87)—(9.90).

О Рассмотрим задачу минимизации | (мг —4х) dt, где ^=и,

0<и<1, х(0) = 0.

Функция Гамильтона в данном случае имеет вид H=j/u — и2 + 4х.

Из условий 1) и 2) находим, что ^ = 4—4/, ґє[0, 1]. Тогда

Я=(4-40и-ы2+4л:.

Максимум этой функции по и, 0<;и^1, достигается при ы=«* (0, где

ы.(л = Я> если о<'<1/2: (2-2f, если 1/2^/^

По условию, ——=и* (/). Значит,

rf+c,, если 0^/^1/2;

х* (t) = <

2t-t2~C2, если 1/2^/^1.

Так как х* (0) = 0, то С — 0.

Из условия непрерывности jc* (г) в точке г=1/2 найдем nocrd янную с2= —1/4. Таким образом,

если 0^1/2, если 1/2^*^1.

Можно проверить, что найденные х* (/) и и* (ґ) составляют оп тимальное решение данной задачи, ф '