10.4. ситуации равновесия в антагонистических играх
10.4. ситуации равновесия в антагонистических играх
Дана антагонистическая игра
Г = {5,, 52, Я, (j,, 52), Я2 (5,, л2)},
где Si, S2 — множества частых стратегий игроков, a Ht (s,, s2), Н2 (ji, s2), Si є Su s2 є S2 — функции выигрышей этих игроков, причем #2 (Si, S2) = -Hi (SU 5г).
Основные утверждения о ситуации равновесия в антагонистических играх.
1°, Ситуация (si, s\%) является ситуацией равновесия в антагонистической игре Г тогда и только тогда, когда (si s) — се-дловая точка функции выигрыша Н (su s2), т. е. для любых чистых стратегий ^ є Si и s2 є S2 выполняется неравенство
Я, (su s$)^H (si s$)^Hi (si s7). (10.2)
Из неравенства (10.2), в частности, следует, что для любых
ситуаций равновесия (si s°) и (si sty в антагонистической игре Г имеет место равенство
Я.^ЬЯ, (*?,*?).
Если (si я і) — ситуация равновесия в антагонистической игре Г, то s° называется оптимальной чистой стратегией первого игрока, si — оптимальной чистой стратегией второго игрока, а число Я1 (si Sj) — ценой игры Г.
2°. Если в антагонистической игре Г первый игрок применяет свою чистую стратегию su то в любом случае он выиграет не
меньше, чем inf Яі (si,'s2).
„ neS2 „
Поэтому первый игрок постарается выбрать свою стратегию так, чтобы inf Hi (su s2) был как можно больше. Второй игрок,
применяя свою чистую стратегию s2, проиграет не больше sup Н (si, s2). Поэтому второй игрок попытается выбрать свою
a,eSi
стратегию s2 так, чтобы sup Hi (j,, s2) был как можно меньше.
ц eSi
Для любой антагонистической игры Г справедливо неравенство
sup (inf Я, (si, s2))< inf (sup Hi (su s2)).
3°. Антагонистическая игра Г имеет хотя бы одну ситуацию равновесия тогда и только тогда, когда существуют max (inf Я, (si, s2)), min (sup Я, (sb s2))r/i они равны между собой.
4°. Для того чтобы ситуация s° = (sl s2) являлась ситуацией равновесия в антагонистической игре Г, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
inf Hi 0?, s2)=supHi (su s$).
О Пример. Первый игрок выбирает некоторое число хє[0, 1], второй игрок, независимо от первого, выбирает число
В ситуации s=(x, у) второй игрок уплачивает первому игроку выигрыш, равный (х-у)2.
Рассмотрим антагонистическую игру
Г = {5..й,#, (х, у), Н2 (х. у)},
где
5, = {;clxe[0, l]),S2 = {yye[0, 1]}; Я, (х, у) = (х~у)2, Нг (х, у)= -Я, (х, у).
Так как
inf Я, (х, у)= inf (х~у)2=0,
yeS2 yeS2
то
шах (inf Яі (х, у))=0.
С другой стороны,
„ , , , ч1 Ш~>02> если 0<У<Х/2,
xeSi , І У2, ЄСЛИ 1/2<У^1.
Поэтому
inf (suptfi (х, у)) = 1І4.
Так как
sup (inf Я, (x, у))ф inf (supЯ, (x, у)), то в игре нет ни одной ситуации равновесия. #
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы