10.4. ситуации равновесия в антагонистических играх

10.4. ситуации равновесия в антагонистических играх: Справочник по математике для экономистов, В.И. Ермаков, 2007 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Предназначен для студентов экономических вузов. Может быть использован аспирантами и преподавателями вузов и колледжей, а также экономистами различных специальностей в практической работе.

10.4. ситуации равновесия в антагонистических играх

Дана антагонистическая игра

Г = {5,, 52, Я, (j,, 52), Я2 (5,, л2)},

где Si, S2 — множества частых стратегий игроков, a Ht (s,, s2), Н2 (ji, s2), Si є Su s2 є S2 — функции выигрышей этих игроков, причем #2 (Si, S2) = -Hi (SU 5г).

Основные утверждения о ситуации равновесия в антагонистических играх.

1°, Ситуация (si, s\%) является ситуацией равновесия в антагонистической игре Г тогда и только тогда, когда (si s) — се-дловая точка функции выигрыша Н (su s2), т. е. для любых чистых стратегий ^ є Si и s2 є S2 выполняется неравенство

Я, (su s$)^H (si s$)^Hi (si s7). (10.2)

Из неравенства (10.2), в частности, следует, что для любых

ситуаций равновесия (si s°) и (si sty в антагонистической игре Г имеет место равенство

Я.^ЬЯ, (*?,*?).

Если (si я і) — ситуация равновесия в антагонистической игре Г, то s° называется оптимальной чистой стратегией первого игрока, si — оптимальной чистой стратегией второго игрока, а число Я1 (si Sj) — ценой игры Г.

2°. Если в антагонистической игре Г первый игрок применяет свою чистую стратегию su то в любом случае он выиграет не

меньше, чем inf Яі (si,'s2).

„ neS2 „

Поэтому первый игрок постарается выбрать свою стратегию так, чтобы inf Hi (su s2) был как можно больше. Второй игрок,

применяя свою чистую стратегию s2, проиграет не больше sup Н (si, s2). Поэтому второй игрок попытается выбрать свою

a,eSi

стратегию s2 так, чтобы sup Hi (j,, s2) был как можно меньше.

ц eSi

Для любой антагонистической игры Г справедливо неравенство

sup (inf Я, (si, s2))< inf (sup Hi (su s2)).

3°. Антагонистическая игра Г имеет хотя бы одну ситуацию равновесия тогда и только тогда, когда существуют max (inf Я, (si, s2)), min (sup Я, (sb s2))r/i они равны между собой.

4°. Для того чтобы ситуация s° = (sl s2) являлась ситуацией равновесия в антагонистической игре Г, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

inf Hi 0?, s2)=supHi (su s$).

О Пример. Первый игрок выбирает некоторое число хє[0, 1], второй игрок, независимо от первого, выбирает число

В ситуации s=(x, у) второй игрок уплачивает первому игроку выигрыш, равный (х-у)2.

Рассмотрим антагонистическую игру

Г = {5..й,#, (х, у), Н2 (х. у)},

где

5, = {;clxe[0, l]),S2 = {yye[0, 1]}; Я, (х, у) = (х~у)2, Нг (х, у)= -Я, (х, у).

Так как

inf Я, (х, у)= inf (х~у)2=0,

yeS2 yeS2

то

шах (inf Яі (х, у))=0.

С другой стороны,

„ , , , ч1 Ш~>02> если 0<У<Х/2,

xeSi , І У2, ЄСЛИ 1/2<У^1.

Поэтому

inf (suptfi (х, у)) = 1І4.

Так как

sup (inf Я, (x, у))ф inf (supЯ, (x, у)), то в игре нет ни одной ситуации равновесия. #

Справочник по математике для экономистов

Справочник по математике для экономистов

Обсуждение Справочник по математике для экономистов

Комментарии, рецензии и отзывы

10.4. ситуации равновесия в антагонистических играх: Справочник по математике для экономистов, В.И. Ермаков, 2007 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Предназначен для студентов экономических вузов. Может быть использован аспирантами и преподавателями вузов и колледжей, а также экономистами различных специальностей в практической работе.