10.5. ситуации равновесии в матричных играх
10.5. ситуации равновесии в матричных играх
Дана матричная игра Г с платежной матрицей А = (аі,)тхп, В матричной игре Г первый игрок выбирает некоторую строку матрицы А, а второй игрок — некоторый столбец этой матрицы. При этом если первый игрок выбрал і-ю строку, а второй игрок— у-й столбец, то второй игрок уплачивает первому игроку ачединиц выигрыша (/=1, 2, т; j=l, 2, л).
Ситуация (/о, jo) является ситуацией равновесия в матричной игре Г тогда и только тогда, когда для всех i=l, 2, т и для всех j— 1, 2, л выполняются неравенства
В этом случае число а,^ является ценой матричной игры Г. Если (ig, jo) — ситуация равновесия в игре Г, то первый игрок, применяя чистую стратегию к>, обеспечивает себе выигрыш, не меньший цены игры fl,^. С другой стороны, второй игрок, применяя чистую стратегию /0, не проиграет больше .
Матричная игра Г имеет хотя бы одну ситуацию равновеия тогда и только тогда, когда
max (min щ)= min (max щ).
Чистые стратегии ц и jQ соответственно первого и второго игроков являются оптимальными чистыми стратегиями этих игроков, если (/'о, jo) — ситуация равновесия в матричной игре Г.
Чтобы найти оптимальные чистые стратегии в матричной игре, можно поступить следующим образом:
в каждой строке матрицы А выбрать по наименьшему элементу:
min ay, min a2J, min amj,
в каждом столбце матрицы А выбрать по наибольшему элементу:
max а», шах аа, max ат.
Если min йщ,-= max а^, то U и j0 — оптимальные чистые стра-тегии соответственно первого и второго игроков.
О Пример 1. Дана матричная игра Г с платежной матрицей
2 10 3 14 51 А = 8 9 5 6 7 10 8 4 8 12
Тогда min atJ=2, min a2j—5, min Ду=4; max a,, = 10,
14jhs l^i<5 I <j< 5 l<l(3
max aa = 10, max an = 5, max ай = 14, max a(5= 12.
!«i<3 КіЧЗ l£i<3 L*<<3
Так как min ay— max а,э= 5, то оптимальные чистые стратегии
игроков i0 = 2, j'o=3. Цена игры равна 5. #
О Пример 2. Матричная игра Г с платежной матрицей
не имеет оптимальных чистых стратегии, так как
max (min а0)=2, a min (maxo,y)=3.
киз і<jo i*K3 loo
10.6. Стратегическая эквивалентность бескоалиционных игр
Даны две бескоалиционные игры г лиц:
r={Si,.... skl5г. я; (5),.... я, (j),я; (j)}, г"={5„5*..... s„ н (S),.... я; (дя;
с одинаковыми множествами чистых стратегий игроков.
Игры Г" и Г" называются стратегически эквивалентными, если существуют число />0 и числа Ck (£ = 1, 2, г) такие, что
Г
для любой ситуации s=(slt sk, .... sr)eS=Y S* имеют место равенства
ffi (*)=/■ я; (5) + Сь к=,2, ...,г.
В частности, любая бескоалиционная игра с постоянной суммой стратегически эквивалентна игре с нулевой суммой.
Матричная игра с платежной матрицей Л=(\%)„,„„ стратегически эквивалентна матричной игре с платежной матрицей А = = (ау+к)тхп, где к — некоторое число.
Основное свойство стратегически эквивалентных игр. Стратегически эквивалентные бескоалиционные игры имеют одни и те же ситуации равновесия.
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы