14.11. построение доверительного интервала
14.11. построение доверительного интервала
Методика построения доверительных интервалов для отдельных параметров зависит как от вида закона распределения, так н от знания значений остальных параметров этого закона. Рассмотрим задачу пострення доверительного интервала для математического ожидания при известной дисперсии.
Пусть имеется нормально распределенная случайная величина с известной дисперсией сі. Требуется построить доверительный интервал для математического ожидания Мх с заданной надежностью у.
На основании имеющейся выборки получаем точечную оценку математического ожидания в виде выборочной средней
1 "
Хъ— ^ Xj, п ы
которая является случайной величиной и при нормальном распределении составляющих выборки тоже распределена нормально:
/(«)=-?= ГЄ * •
так как М-хМх, <т, = crjy/n.
Вероятность того, что случайная величина х, попадет в интервал ]MX — S, Мх + 8[ находится по формуле
Р(МЯ-3<Х1<МХ + 3)= ) f(x)dx= ) е 2°1Jn cbt=
ifx-l ^Jlnajy/n Ux-l
=-L ' Ґ е-",/ї(і«=Ф(5^/^-ф(-гч/їі/^)=2Ф(^/^)>
X~M* 1 * -^n
где u= -, Ф (z)=—= Je du — функция Лапласа, обычно
Gxjyjn -Jin 0
задаваемая таблично (см. табл. 1 приложений). Используя очевидное равенство
Р(Мх-6<Х<Мх + 5)=Р(Х-8<Мх<Х+о)
и задавая значение этой вероятности (надежности) у, при известных значениях ах и п можно с помощью таблицы функции
Лапласа получить вначале значение S-*Jn/o„ а затем и S.
О Пример. Пусть х, = 5, л=4, ах = 1, уровень надежности у = 0,954.
Определяем значение функции Лапласа: Ф(^/^) = 7/2=0,477.
По таблице значений функции Ф (z) находим соответствующее
значение z. В данном случае =2. Тогда 5=1.
Доверительный интервал ]5—1, 5 + 1[=]4,6[. Следовательно, 4<МХ<6 с вероятностью 0,954.
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы