15.3. дисперсионный анализ

15.3. дисперсионный анализ

Дисперсионный анализ является одним из методов статистической обработки наблюдений и служит для оценки влияния на наблюдаемую величину различных факторных признаков, таких, от которых зависит наблюдаемая величина.

Пусть производится п измерений случайной величины у. Каждое измерение уj (f—l, 2, п) зависит от некоторого числа параметров х,,, которые могут принимать или дискретные, или непрерывные значения. Эту зависимость обычно представляют в виде линейной комбинации параметров хі} с коэффициентами Д,:

(15.7)

где Є; — случайная ошибка измерения.

Величины fii3 {S2, fim называются факторами. Уравнение (15.7) называется линейной многофакторной моделью.

Параметры xtJ в дисперсионном анализе обычно принимают равными 0 или 1, что указывает на то, какие из факторов учитываются при таком анализе.

Для опенки влияния факторных признаков xtJ на наблюдаемую величину у} (результативный признак) значения этой величины разбивают на несколько уровней, соответствующих определенному значению факторного признака.

Пусть, например, наблюдаются значения производительности труда на разных предприятиях. Требуется оценить влияние концентрации производства на производительность. Предприятия по концентрации производства можно разделить на следующие уровни (группы): мелкие, средние и крупные. В каждый из уровней будут входить предприятия с некоторыми конкретно наблюдаемыми значениями производительности. В этом случае наблюдаемые значения записывают с двумя индексами — yrj, где г — номер уровня, j — номер измерения на каждом уровне. В данном случае г=1, 2, 3. В общем случае г=1, 2, р, где р — число уровней.

Для однофакторного дисперсионного анализа наблюдаемые значения можно представить в виде

yrJ=pr+er/(r=, 2, 7 = 1, 2, q),

где $, — среднее значение наблюдаемой величины на г-уровне. Находят групповые (уровневые) средние:

ч

я

Среднее всех наблюдаемых значений определяют по формуле

Р о ЧР

Далее подсчитывают факторную дисперсию:

Л,=ї=і_— (15.8) ри остаточную дисперсию:■2)o = =Li=i W=pq). (15.9)

N-p

Для проверки гипотезы о влиянии фактора используется

D.

критерий Фишера. Составляют отношение Fu=—, которое

характеризует влияние факторного признака. Чем (эбльше влияние факторного признака на результативный, тем больше значение Fn.

В знаменателях выражений (15.8) и (15.9) находятся значения чисел степеней свободы k1^p1, k2=N-p.

Например, для уровня значимости, равного 0,05, и значений kt = 2, к2=