1.22. операции над множествами

1.22. операции над множествами

Объединением (суммой) множеств А а В называют множество A (J В всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А и В; С=А [JB={xхєА или хєВ}.

Пересечением множеств А и В называют множество А (~) В всех элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В; С=А f] В-{х|хе А и хвВ].

Замечание. Понятия объединения и пересечения могут быть обобщены на случай любого числа множеств (конечного или бесконечного). Если даны множества Аи Аъ Ак, .... то сим00

волическая запись IJ Ак означает объединение данных множеств,

т. е. определяет множество, каждый элемент которого принадлежит хотя бы одному из данных множеств. Символическая

со

запись f] Ак означает пересечение данных множеств, т. е. опрек-1

деляет множество, каждый элемент которого принадлежит всем данным множествам.

Разностью множеств А и В называют множество АВ тех элементов множества А, которые не содержатся в множестве В; С=АВ = {ххеА и хфВ}.

Если В с: А, то разность А В называют дополнением множества В до множества А н обозначают САВ,

Декартовым произведением множеств А и В называют множество А х В всех упорядоченных пар элементов (а, Ь), где as А, be В. Элементы а и b называют при этом компонентами (координатами) пары (а, Ь).

Декартово произведение Ах Агх ... хАя множеств Ait А2, А„ представляет собой множество всех упорядоченных л-ок (энок) элементов (fli, аг, а„), где а^Аи а„еА„. В частности, декартово произведение RxRx ... хR, где R — множество действительных чисел, определяет л-мерное арифметическое пространство R" (см. п. 3.1). Примеры.

Если А — множество четных положительных чисел, а В— множество нечетных положительных чисел, то А [) В определяет множество натуральных чисел, т. е. множество N=={1, 2, 3, л,

Если А — множество всех чисел, делящихся на 2, а В — множество всех чисел, делящихся на 5, то A f] В определяет множество всех чисел, делящихся и на 2,и на 5, т. е. делящихся на 10.

Если А = {1, 2, 3, 4, 5}, а 5={3, 5}, то СЛВ=АВ= {1, 2, 4}, аВА = 0.

Если А = {,2), а В= {З, -1, 0}, то А х В— {(1, 3),(l, -1), (1, 0), (2,3), (2, -1), (2,0)}.

Введенные операции обладают следующими свойствами: 1°. А[)0~А.

2°.А[)0 = 0.

3°. A [j А = A; A f] А = А (идемпотентность).

4°. A{jB=B{jA;Af)B=Bf)A (коммутативность).

5°. A{)(B{JC) = (A{JB){JC; Af](Bf]C)^(A^B)C]C (ассоциативность).

6°. A[j(Bf]Q = (A[JB)f](A[jQ; A f](B[J С)=(А f]B)[j J(A f] Q (дистрибутивность).

Если А с Е и В а Е, то: 7°. CE(A{JB) = CEAf]CEB

алаЕиА[)В)^(ЕА)Г](ЕВу, . *

СЕ (А(]В) = СЕА{)СЕВиіш

Е(А(~]В) = (Е A) [j (ЕВ) — законы двойственности.

Для краткости используются обозначения:

V* — «для любого х»;

Зх — «существует такое х».