1.25. числовые множества. грани числового множества

1.25. числовые множества. грани числового множества

Множество натуральных чисел

Множество действительных (вещественных) чисел R={jc}, Имеет место такое последовательное включение: N с Z с Q с Н.

Все указанные числовые множества обладают свойством упорядоченности, т. е. для любых двух различных элементов а и Ь любого из данных множеств можно сказать, что либо а>Ь, либо а<Ь. Кроме того, выполняется свойство транзитивности: из а>Ь яЬ>с следует, что а>с.

Множества Q и R являются всюду плотными множествами. Это означает, что между любыми двумя различными элементами а и і любого из указанных множеств найдется хотя бы один элемент этого же множества. Таким элементом является, наприа + Ь

мер, элемент с— .

2

Множество R Обладает важным свойством непрерывности, оно постулирует возможность установления взаимно однозначного соответствия (см. п. 1.23) между множеством действительных чисел и множеством точек на прямой линии.

Пусть А — {х} — некоторое непустое множество действительных чисел.

Множество А называют ограниченным сверху (снизу), если существует действительное число К такое, что для всех хеА выполняется неравенство х^К (х^К).

Всякое число К с указанным свойством называют верхней (нижней) гранью множества А.

Множество называют ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу.

Наименьшую из верхних граней множества А называют точной верхней гранью этого множества и обозначают символом sup А (супремум А).

Наибольшую из нижних граней множества А называют точной нижней гранью этого множества и обозначают символом inf А (инфимум А).

Свойства точной верхней и точной нижней граней.

1°. Для любого элемента хєА выполняется неравенство x^supA (x^inf А).

2°. Для любого числа е>0 найдется элемент хеА такой, что jc>sup,4 — є (x<inf А+£).

Всякое непустое ограниченное сверху (снизу) множество действительных чисел имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.

о Примеры.

А=]а, Ь[ = {ха<х<Ь} — ограниченный открытый интервал. Здесь sup A = bt іпї А = а не принадлежат данному множеству.

А = [а, b] = {xa^x^b) — ограниченный замкнутый интервал или отрезок. Здесь sup А=Ь, іаІА — а принадлежат данному множеству.

А=] — со, а[={х—со<х<а); В=]а, + со[={х}а<х< < + со};Л=] — оо; + со[ — неограниченные открытые интервалы. Здесь sup А=a, inf В=а не принадлежат указанным множествам.

А = [а, Ь[={ха^х<Ь};В=]а, b]={xa<x^b}; С=]-оо; в] = {*1 — оо <х4,а}; D—[a, +oo[ = {xja^x< + oo} —полуоткры-

тые интервалы. Здесь vafA=a, sapB=b, sup С=a, mfD=a принадлежат указанным множествам; supA — b, inf В=а не принадлежат им. ф