2.9. линейная зависимость векторов

2.9. линейная зависимость векторов

Система векторов Аи А2, А„ называется линейно зависимой, если можно подобрать такие числа klt к2, кп, которые не все равны нулю, что

А1кі + Агкг + ... + А£Л=*В.

Если же каждая линейная комбинация векторов А,, А2, А„ с коэффициентами к,, к2, кя, которые не все равны нулю, отлична от нулевого вектора, то система векторов Аи А2, А„ называется линейно независимой.

Система m-мерных векторов А,-Аг, Ая является линейно зависимой, если система линейных уравнений

Аххі + А1х1 + ... + А*п=в (2.10)

имеет ненулевое решение. Если же система уравнений (2.10) не имеет ненулевых решений, то система векторов Аі, А2, А„ линейно независимая. о Примеры.

1. Выяснить, является ли система векторов линейно зависимой или линейно независимой.

Преобразуем систему линейных уравнений AXY + A2x2+AJx-s = = 0 методом Гаусса:

Общее решение исходной системы имеет вид

— 13х2+х3 = 0, 5х2 =0.

Эта система имеет ненулевое решение 5, 1, 13. Следовательно, векторы А, А2, А-і линейно зависимы.

2. Выяснить, является ли система векторов

линейно зависимой или линейно независимой.

Преобразуем систему линейных уравнений Ахху-А2х2+Агхг = = в методом Гаусса:

Общее решение исходной системы имеет ВИД jc, = 0, х2 = 0, х3=0. Эта система, а следовательно исходная система уравнений, не имеет ненулевых решений. Таким образом, векторы Аи А2, Аъ линейно независимы. #

Если каждый из векторов Ви Въ Вя разлагается по системе векторов Аи А2, Ат, т<п, то система векторов Вь В2, В„ линейно зависима.