2.21. обратная матрица
2.21. обратная матрица
Квадратная матрица
/ 1 0 ... О
О 1
V
О О
1
называется единичной и обозначается через Е.
Квадратная матрица А называется обратимой, если можно подобрать такую матрицу В, что АВ=ВА = Е.
Матрица В называется обратной для матрицы А.
Матрица называется невырожденной, если ее столбцы линейно независимы.
Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная.
Обратимая матрица имеет только одну обратную матрицу, которую обозначают через А~1.
Квадратная матрица А порядка п обратима тогда и только тогда, когда каждая из п систем линейных уравнений АХ=Е1,
АХ=Е2, АХ=Е* имеет единственное решение, где Е1, Е2, ....
/хл
Ё — столбцы единичной матрицы, а X—
вектор-столW
бец, координатами которого являются неизвестные х,, хг, х„.
Если матрица А обратима, то единственное решение системы уравнений АХ—Е*, i= 1, 2, п, совпадает с i'-м столбцом матрицы А^1.
Для определения элементов матрицы А ~1 необходимо решить п систем линейных уравнений с п неизвестными. Так как эти системы отличаются только набором свободных членов, то их можно решать параллельно в одной таблице.
О Пример. Найти обратную матрицу А~1, если
-Л
*| | *2 | *1 | *2 | *3 | ||||||
1 0 0 | 0 0 1 | "Л 1 | 1 -5 1 | 0 1 0 | 0 1 -3 0 1 0 | 0 0 1 | 0 1 0 | -4 -5 6 | 1 1 -1 | -3 -3 4 |
Из последней таблицы находим:
единственное решение системы уравнений АХ= Е1
х, = —4, х2 = 6, х3— —5;
единственное решение системы уравнений АХ— Ег Xi — l, х2= — 1, = 1;
единственное решение системы уравнений АХ— Еъ Х= —* 3, X2~4j — —3.
Таким образом,
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы