2.26. разложение определителя по строке и столбцу

2.26. разложение определителя по строке и столбцу

Рассмотрим алгебраическую сумму всех правильных произведений матрицы А, содержащих множителем элемент ай, вынесем этот общий множитель за скобки и выражение, оставшееся в скобках, обозначим через А^. Выражение Ал называется алгебраическим дополнением элемента а* в определителе матрицы А.

Вычеркнем в матрице А 1-ю строку и j-й столбец. Определитель полученной матрицы (л—1)-го порядка называют минором элемента ау в определителе матрицы А и обозначают через Му.

Алгебраическое дополнение Ац равно соответствующему минору Л/у, умноженному на ( —1)'+>, т. е.

А;М-РМ1}.

Справедливы следующие равенства:

det А = (1У+1 а„ А/„ + ... + (-1)'+>auMv+...

... + (ifa^M^ (2.20) det А = (-1)'+J ai}My +... + (-l)i+J ay Mi}+...

... + (-)"+J axJMnj. (2.21)

Равенство (2.20) называется разложением определителя матрицы А по элементам 1-й строки, а равенство (2.21) — разложением по элементам j-ro столбца.

Формулы (2.20) и (2.21) можно использовать для вычисления

определителей матриц. /і 2 0 I

2 13 4

о Пример. Вычислить определитель матрицы

110 2 5 2 10

Разлагая определитель по элементам третьего столбца, получаем