2.27. свойства определителей. вычисление определителей
2.27. свойства определителей. вычисление определителей
1°. Определитель матрицы не изменяется при транспонировании.
2°. Общий множитель элементов любой строки (столбца) можно выносить за знак определителя этой матрицы, т. е.
An ап кац каа ■
ка*
jan ап
= к
I
«лі ап2
V
3°. Если все элементы і-й строки матрицы п-го порядка представлены в виде суммы двух слагаемых au—bj+Cj,j=l, 2, п, то определитель этой матрицы равен сумме определителей матриц, у которых все строки, кроме /-й, такие же, как и в данной матрице, а /-я строка у одной из матриц состоит из элементов bj, а у другой — из элементов с,, т. е.
«12
аія
/«и «і
А
b + Ci bi + c2
b„+c„
bi bi ... b„
«я2
«я І «я2
fan «и
«Ія
С сг ... с„
а„2 ■■■ amJ
Аналогичное свойство справедливо и в том случае, когда элементы некоторого столбца матрицы представлены в виде суммы двух слагаемых.
4°. Определитель матрицы, имеющей две одинаковые строки (столбца), равен нулю.
5°. Определитель матрицы не изменится, если к 1-й строке (столбцу) матрицы А прибавить ее >ю строку (столбец), умноженную на число.
Если в матрице порядка л имеется строка (столбец), все элементы которой равны нулю, кроме одного, то вычисление определителя матрицы н-го порядка сводится к вычислению единственного определителя матрицы порядка (л — 1).
Используя свойство 5° определителей матриц, можно, не изменяя величины определителя, преобразовать данную матрицу так, чтобы в выбранной строке (столбце) все элементы, кроме одного, обратились в нуль.
О Пример. Вычислить определитель матрицы
-2 5-1 3
-9 13 7 3-1 5 -5
18 -7 -10
13 25 17
-9 13 7
0 26 34 26
0 36 -33 -24
:(-1)2+'а21Л/21=-
-13 25 17 26 -34 -26 36 -33 -24
Получен определитель матрицы третьего порядка, хоторый можно вычислить либо непосредственно, либо сведя его к вычислению определителя матрицы второго порядка. Имеем
-13 | 25 | 17 | 13 | 25 | 17 | ||||||||||||
26 | -34 | -26 | = | 2 | 13 | -17 | -13 | ||||||||||
36 | -33 | -24 | 36 | -33 | -24 | ||||||||||||
13 | 25 | 17 | 0 | 8 | 4 | ||||||||||||
= 2 | 13 - | 17 - | 13 | -.2 | 13 - | 17 - | 13 | ||||||||||
10 | 1 | 2 | 10 | 1 | 2 | ||||||||||||
0 | 2 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| |||||||||||
= 24 | ІЗ | -17 | -ІЗ | = 8 | 13 | 9 | -13 |
| |||||||||
10 | 1 | 2 | 10 - | 3 | 2 |
| |||||||||||
= 8( | -39- | -90)=- | -1032. |
| |||||||||||||
Итак, |4=-1032. •
6°. Определитель матрицы А равен нулю тогда и только тогда, когда столбцы или строки матрицы А линейно зависимы.
7°. Определитель произведения матриц равен произведению их определителей, т. е.
AB-A-B.
2.28. Системы линейных уравнений с квадратной матрицей
Рассмотрим систему линейных уравнений, записанную в век-торно-матричной форме:
Ах=Ь, (2.22)
где А — квадратная матрица.
Если определитель матрицы А отличен от нуля, то система уравнений (2.22) имеет единственное решение, которое находят по формулам Крамера
Xi = dt/d, x2=djd, x„ = djd,
где определитель dj получен из определителя о"=|Л| заменой _/-го столбца на столбец Ъ свободных членов системы уравнений. О Пример. Решить систему уравнений Ах=Ъ, где
Определитель матрицы системы
1 -1|
d=A =
= 3^0
и, значит, можно найти решение системы по правилу Крамера. Имеем
Если )АфО, то матрица А обратима. Умножая обе часта уравнения (2.22) слева на матрицу А~1, получаем
х = А~1Ь. (2.23)
Формула (2.23) представляет собой матрично-векторную форму записи формул Крамера.
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы