2.29. собственные векторы и собственные значения матрицы

2.29. собственные векторы и собственные значения матрицы

Число Я называется собственным значением (или характеристическим числом) квадратной матрицы А порядка л, если можно подобрать такой л-мерный ненулевой вектор х, что Ах = Хх.

Множество всех собственных значений матрицы А совпадает с множеством всех решений уравнения А — ХЕ — 0, где Я — независимая переменная. Если раскрыть определитель А — ХЕ, то получится многочлен л-й степени относительно Я:

аи-Х о12

А-Щ =

au-X

ay,

Ялі ан2

■ ат Я

= а„Хп+ая--1 X" + ...+а,Х + Оо 

Этот многочлен называется характеристическим многочленом матрицы А. Его коэффициенты а„, а„_|, Оо зависят от

элементов матрицы А. Отметим, что а„ = (-1), *0=И|. Уравнение A~XE-0 называется характеристическим уравнением матрицы А.

Ненулевой вектор х называется собственным вектором квадратной матрицы А, принадлежащим ее собственному значению Я, если Ах — Хх.

Множество всех собственных векторов матрицы А, принадлежащих ее собственному значению Я, совпадает с множеством всех ненулевых решений системы однородных уравнений (А — ХЕ) х=0, записанной в векторно-матричной форме.

О Пример. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

= Х2-5Х+6 = 0.

А-ХЕ =

Запишем характеристическое уравнение матрицы 1-Х 2 1 4-Х

Его корни Хі — 2, Х2 = Ъ являются собственными значениями матрицы А. Найдем собственные векторы, принадлежащие найденным собственным значениям. Собственный вектор, принадлежащий собственному значению At = 2, является ненулевым решением системы

(--4)'-(:Jl)Q-<i

или

-х,+ 2х2 = 0,

-xi + 2x2 = 0.

Тогда *і=2, *2=1 — ненулевое решение и, значит, (^j — искомый собственный вектор. Аналогично находим

принадлежащий собственному значению Я2 = 3. ф

Число различных собственных значений квадратной матрицы не превышает ее порядка.

Собственные векторы квадратной матрицы, принадлежащие ее различным собственным значениям, линейно независимы.

Ортогональная матрица может не иметь действительных собственных значений.

Симметрическая матрица всегда имеет действительное собственное значение.

Собственные векторы симметрической матрицы, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны.