2.30. приведение квадратной матрицы к диагональному виду

2.30. приведение квадратной матрицы к диагональному виду: Справочник по математике для экономистов, В.И. Ермаков, 2007 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Предназначен для студентов экономических вузов. Может быть использован аспирантами и преподавателями вузов и колледжей, а также экономистами различных специальностей в практической работе.

2.30. приведение квадратной матрицы к диагональному виду

Матрица А называется подобной матрице В, если найдется такая невырожденная матрица Т, что B=T~l AT. Характеристические многочлены подобных матриц совпадают и, значит, подобные матрицы имеют одни и те же собственные значения.

Если матрица А подобна диагональной матрице B=T~l AT,

то говорят, что матрица Т приводит матрицу А к диагональному виду. Числа А,, Х2, К, стоящие на главной диагонали матрицы В, являются собственными значениями матрицы А, а г-й столбец матрицы Т — собственным вектором матрицы А, принадлежащим собственному значению Xh i= 1, 2, п.

Квадратная матрица А порядка л тогда и только тогда приводится к диагональному виду, когда у матрицы А имеется л линейно независимых собственных векторов. Матрица Г, столбцами которой служат координаты этих собственных векторов, приводит матрицу А к диагональному виду. Этот критерий, в частности, выполняется, когда у матрицы порядка л имеется л различных собственных значений.

Для каждой матрицы А можно построить такую матрицу В, у которой все собственные значения различны, а ее элементы отличаются по абсолютной величине от элементов матрицы А не более чем на є, где е — наперед заданное сколь угодно малое положительное число.

Правило построения матрицы Т, приводящей матрицу А порядка л к диагональному виду В.

Находят все собственные значения матрицы А.

Для каждого собственного значения Я, ищут фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений (A-liE) jc = 0.

Строят матрицу Г, столбцами которой являются координаты решений всех найденных фундаментальных систем.

Если полученная матрица Т является квадратной, то она приводит матрицу А к диагональному виду. Если же матрица Т не будет квадратной, то матрица А не может быть приведена к диагональному виду.

2-Я -1 -1 А-Щ= -3 2-Х О 4 2 4-Х

Сначала из третьего столбца вычтем второй, а затем к третьей строке прибавим вторую:

О Пример. Выяснить, приводится ли к диагональному виду матрица

= (2-Я)

2-Я -1 1 4-Х

= (2-Я)(Я-3)2.

Собственные значения матрицы А равны 2 и 3.

Теперь надо найти фундаментальные системы решений систем уравнений (А — 2Е) х=0 и (А — ЪЕ) jc=0. Фундаментальная система решений первой системы состоит из одного решения (0, — 1, 1), а второй — из одного решения (1, —3, 2). Следовательно, матрица Т имеет вид

Эта матрица не является квадратной, поэтому матрица А не приводится к диагональному виду. #

Для каждой симметрической матрицы существует такая ортогональная матрица Q, что Q~lAQ — диагональная матрица. Построение этой ортогональной матрицы осуществляется следующим образом:

строят невырожденную матрицу Т, которая приводит матрицу А к диагональному виду;

подвергают столбцы найденной матрицы Т процессу ор-тогонализации, а затем нормируют полученные векторы;

строят ортогональную матрицу Q, столбцами которой являются координаты полученной ортонормированной системы векторов.

Справочник по математике для экономистов

Справочник по математике для экономистов

Обсуждение Справочник по математике для экономистов

Комментарии, рецензии и отзывы

2.30. приведение квадратной матрицы к диагональному виду: Справочник по математике для экономистов, В.И. Ермаков, 2007 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Предназначен для студентов экономических вузов. Может быть использован аспирантами и преподавателями вузов и колледжей, а также экономистами различных специальностей в практической работе.