233. применение аппарата линейной алгебры для анализа балансовых моделей
233. применение аппарата линейной алгебры для анализа балансовых моделей
Рассматривается экономическая система, состоящая из л отраслей. Обозначим через х=(х1у х„) вектор валовой продукции системы, а через у=(уи у2, у„) — вектор ее конечной продукции. Тогда система уравнений материального баланса при условии линейности функций производственных издержек имеет вид
л
х,£ atJXj=yi, f=l, 2, л, ■-і
или в векторно-матричной форме
(Е-А)х=у. (2.24)
Матрицу А — (fl,^) называют матрицей затрат или технологической матрицей; Е — единичная матрица.
Коэффициенты оЛ называются коэффициентами прямых затрат; они представляют собой затраты продукции z-й отрасли на. изготовление единицы валовой продукции fc-й отрасли. Будем считать, что а* = const. Уравнение (2.24) называется моделью Леонтьева.
Одна из задач планирования состоит в том, чтобы при заданном векторе у конечного продукта определить необходимый вектор х валовой продукции.
Матрица А называется продуктивной, если существует неотрицательный вектор х°, для которого х°>Ах°.
Если матрица а продуктивна, то система уравнений (Е—А) х=у имеет единственное неотрицательное решение при любом у^О, которое можно записать в виде х={Е~А)~1 у.
Элементы матрицы А определяют те количества промежуточного продукта, которые необходимы для производства единицы валового продукта каждой отрасли.
Элементы матрицы Аг = (а$) называют косвенными затратами первого порядка. Величина (вЦ)')— это количество і-ю промежуточного продукта, которое необходимо для производства всех материалов, используемых для производства единицы j-й продукции.
Аналогично, элементы матриц Аъ = (а$), А =(а$) назы-г вают косвенными затратами второго и следующих порядков. ;
* ■ І
Величину полных материальных затрат г'-го продукта на производство единицы валовой продукции >й отрасли определяют до формуле
Cy=fliy+ejJ, + ... + eJJ) + ... (i.j=l, л),
если, конечно, бесконечные ряды сходятся.
Элементы си определяют матрицу полных затрат С, причем.
с=а+а2+...+а"+... .
Отметим, что х=Су+у. Отсюда следует, что величины су представляют собой те количества промежуточного продукта нго вида, которые необходимы для выпуска одной единицы конечной продукции 7-й отрасли.
2.34. Динамическая модель планирования
В модели Леонтьева предполагается, что процесс производства совершается мгновенно. Временные лаги (задержки, отставания) в процессе производства учитывают с помощью моделей динамического межотраслевого баланса.
Разобьем промежуток планирования на Т периодов (недель,
месяцев, лет). Обозначим через х'=(х[, х'2, х'„) вектор валовой продукции, произведенной в конце f-ro периода. С помощью этого набора продуктов в (t+ 1)-м периоде осуществляется производство вектора х'+1. Последовательность {х1, х2, хт} называют траекторией развития производства. Так как вектор х'+1 не
определяется однозначно вектором х', то имеется много различных траекторий развития производства. Каждая траектория развития производства является решением системы неравенств:
Axl+1^x, t=0, 1,2, Г-1, х3*0, г=1, 2, Т, где) А — технологическая матрица.
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы