3.8. предел последовательности
3.8. предел последовательности
Пределом последовательности {Мк}, MkeR", называется л-мерная точка М0, если каждая е-окрестность точки М0 содержит все члены данной последовательности начиная с некоторого номера, т. е. для любого е>0 должен существовать номер К (зависящий от е) такой, что MkeS, (М0) при всех к>К.
Если М0 является пределом последовательности {Мк}, то
пишут M0 = nm {Мк} или Мк->М0 ори Л-юо.
*-»оо
В частности, число а есть предел числовой последовательности {хп}, если для любого числа £>0 можно указать номер N (зависящий от є) такой, что для всех номеров n>N выполняется неравенство хЙ — а < е.
1
с V
Например, последовательность <> имеет предел а — 0, Дейст-вительно, для любого е > 0 всегда существует натуральное число
ла
ется неравенство
=-<£. При отыскании предела последовап
^целая часть числа такое, что для всех n>N выполня1-0
Л
тельности л-мерных точек (л ^2) важную роль играет предел числовой последовательности, так как имеют место следующие два утверждения:
1. Точка М0 является пределом последовательности {Л/*},
A/jteR* тогда и только тогда, когда предел числовой последовательности {р (Мк, М0)} равен нулю (р (Мк, М0) — расстояние между точками Мк и М0).
2. Точка М0 (х?, х°,x§ является пределом последовательности {Мк}, Мк (хк, х, хJ) тогда и только тогда, когда
lira хї=х?, lira х = х, lim хкя=ха„.
Пример. Точка М0 (I; 1;1) является пределом последоватеlim = lim = 1.
1 +-k
Последовательность n-мерных точек называют сходящейся, если она имеет предел.
Свойства сходящихся последовательностей
1°. Если последовательность сходится, то она имеет только один предел.
2°. Любая сходящаяся последовательность ограничена. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
3°. Если последовательность я-мерных точек сходится к точке Мо, то и любая ее подпоследовательность сходится к М0.
4°. Если Мй — предельная точка некоторого множества
V (V є R"), то существует последовательность точек из множества V, сходящаяся к точке М0.
5°. Если последовательность точек замкнутого множества сходится к точке М0, то М0е V.
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы