3.16. точечно-множественные (многозначные) отображения пространства r"

3.16. точечно-множественные (многозначные) отображения пространства r"

Пусть V — некоторое непустое множество в R", а Р (V) — множество всех подмножеств V.

Отображение F: V-+P (V) называют точечно-множественным (многозначным) отображением множества V. Это отображение каждой точке Me V ставит в соответствие одно вполне определенное непустое подмножество F (М) множества V.

Точка М0є V является неподвижной точкой точечно-множественного отображения F: V-*P(V), если M0eF(MQ). Например,

если У={а, Ь, с] Є R1, то соответствие а-*{с), b-*{a, Ь), с~*{Ь, с} определяет точечно-множественное отображение. Точки b и с являются неподвижными точками этого отображения.

Точечно-множественное отображение F: V-*P (V) называется замкнутым в точке М0е V, если из сходимости последовательности точек множества V: Mlt Мъ Мк, ... к точке М0 следует сходимость любой последовательности Ni, N2, —, Nk, где NkeF(Mk), к некоторой точке из множества F (М0).

Теорема Какутани. Пусть V — компактное выпуклое множество в пространстве R", a F: V~*P (У) — точечно-множіествен-ное отображение, удовлетворяющее следующим условиям:

а) для любой точки МеУ множество F (М) является непустым выпуклым подмножеством V;

б) отображение F замкнуто в любой точке множества V.

Тогда отображение F имеет неподвижную точку.