3.18. выпуклые конусы в пространстве r"

3.18. выпуклые конусы в пространстве r"

Выпуклое множество К в пространстве R" называется выпуклым конусом, когда выполняется следующее условие:

если МєК и OL—кЪм, где к^О, то LeK.

Следующие множества являются

выпуклыми конусами в R":

а) множество всех точек пространства R" с неотрицательными координатами;

б) любое подпространство пространства R ;

в) К={М(хь хг, x^eR^ + x]-хЫО, х,>0} (рис. 3.5).

Пересечение выпуклых конусов всегда является выпуклым конусом.

Выпуклый конус' К называется конечным (многогранным), если существуют точки Л/|, М2, Mk такие, что

]OM=Yi^OMi. Я,^0, 1=1, 2, к) «-і J

Например, множество решений однородной системы линейных неравенств

j-i

является конечным конусом в R".

Конечный конус всегда замкнут. Пересечение двух конечных конусов снова является конечным конусом.

Если К — выпуклый конус в пространстве R", то множество

K* = {LeS"OLOM^0 для всех Me К} также является выпуклым конусом в R". Конус X* называется сопряженным (двойственным) конусу К.

В частности, если конус К задается однородной системой линейных неравенств

л

£ ayXj^Q, i=l, 2, т,

то

K* = iL (х,, хъ xH)eR"~Xj=f^atjyb Уі>0 С (-і

Свойства сопряженных конусов

1 °. Сопряженный конус К* всегда замкнут. 2°. Конус, сопряженный к конечному конусу, сам будет конечным.

3°. Если К — замкнутый выпуклый конус, то

К** = К.

3.19. Суммы выпуклых множеств в пространстве R"

Пусть V я W — множества в пространстве R". Суммой V+ W называется множество всех точек М eR" таких, что 1

Ъм=ом,л-Ъмъ

где

Например, суммой множества, состоящего из одной точки M0eR2 и прямой / £ R2, проходящей через точку О (0; 0), является прямая, проходящая через точку Мв параллельно прямой / (рис. 3.6).

Свойства суммы выпуклых множеств в пространстве R".

1°. Сумма выпуклых множеств всегда является выпуклым множеством.

2°, Сумма подпространств пространства R" будет подпространством этого пространства.

3°. Сумма выпуклых конусов в R"

является выпуклым конусом, а сумма

конечных конусов — конечным конусом. Имеют место следующие два утверждения: 1) Множество всех решений системы линейных уравнений

л

£ a,jXj=b„ i= 1, 2, m

(если оно не пусто), является суммой множества, состоящего из одной точки и подпространства пространства R".

2) Множество всех решений системы линейных неравенств

Y.OijXjKK i=l,2,...,m,

у-1

является суммой выпуклой оболочки конечного числа точек в пространстве R и конечного конуса.