4.3. ограниченные функции

4.3. ограниченные функции

Функция у =/ (М), определенная на множестве V, называется ограниченной сверху (снизу), если множество принимаемых ею на V значений ограничено сверху (снизу).

Ограниченность сверху (снизу) функции y—f (М) на множестве V означает существование такого числа к, что для всех точек Me V выполняется неравенство /(М) (f (М) >к).

Функция y=f (М) называется ограниченной на множестве V, если она ограничена на этом множестве и сверху, и снизу.

В частности, если V является окрестностью некоторой точки

Л/о, т. е. V=S, (M0) = {MeR"p (М, М0)<г), то говорят об ограниченности функции y=f (М) в данной окрестности точки М0.

Если V — область определения D (/) функции y=f (Лі), то говорят об ограниченности функции в области определения, при этом множество значений Е (J) является ограниченным множеством.

Если функция y=f (М) не ограничена сверху (снизу) на множестве V, то существует последовательность {Мк} точек, принадлежащих V (к = , 2, 3, ...), такая, что

lim {f (Мк)} = + оо (lim {f(Mk)} = со).

Jfe-rno Jfc-.oo

О Примеры.

1. Функция f(x) = sinx ограничена во всей области определения D (/)=] — со, + оо[, так как множество ее значений Е (/)=[— 1, 1] — множество ограниченное (— 1 ^sinx^ 1) {см. рис. 1.12).

2. Функция f (М)=—-— ограничена лишь снизу во всей об»2

ласти определения D (J)=R2 {(0; 0)}, так как множество ее значений Е (j) ограничено только снизу:/(М)>0. Функция не ограничена сверху в любой окрестности точки (0, 0): существует последовательность Мк (-;-]>, к=,2,сходящаяся к точке О (0, 0)

и такая, что последовательность значений функции 1 к2

f (Мк) = =—стремится к + со. О

(W /IV 2.