4.8. специфические свойства функций одной переменной
4.8. специфические свойства функций одной переменной
Функцияy=f(x), определенная на множестве V £ R1, называется четной на этом множестве, если множество V симметрично относительно точки ;с = 0 и имеет место равенство f {~x)=f (х) для любого xeV.
График четной функции симметричен относительно оси ординат Оу.
Функция у=/(х), определенная на множестве V S R1, называется нечетной на этом множестве, если множество V симметрично относительно точки jc=0 и имеет место равенство /( — х) = = —/ (х) для любого xeV.
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
О Примеры.
Функция у = cos х, для которой D (у)—] — оо, + оо[, является четной функцией, так как cos (—x)=cos х для всех хе D (у).
Функция >> = arcsin;c, для которой D (у)=[ — 1, 1], является нечетной функцией, так как arcsin (-х)= — arcsinх для всех xsD(y). 9
Функция y=f(x) называется периодической, если существует такое положительное действительное число t, что для всех точек х и х+1 из области определения функции имеет место равенство f(x + t)=f(x). При этом число / называют периодом функции.
Практически всегда ставится вопрос о наименьшем из всех возможных периодов, т. е. о числе T=mint).
і
Если функция y=f(x) непрерывна, отлична от постоянной и периодическая на R1, то существует наименьший период Тэтой функции. Все остальные периоды кратны Т, т. е. t, = nT, где л = 1, 2, 3, ... .
О Примеры.
у = sin х и у = cos х имеют период Т~ 2п.
y = tgx и y=ctgx имеют период Т=п.
Функция Дирихле
Функция у=/(х) называется возрастающей (убывающей) на некотором множестве V S R1, если она определена на этом множестве и если для любых значений xit хгеУ из условия xt<x2 следует неравенство
/(х,)</(х2)(Г(Х1)>/(х2)).
Функция y~f(x) называется неубывающей (невозрастающей) на некотором множестве KsR1, если она определена на этом
МНОЖеСТВе И ЄСЛИ ДЛЯ ЛЮбыХ ЗНачеНИЙ Х, Х2В V ИЗ УСЛОВИЯ Xi <х2
следует неравенство
f(Xl)^f(x2) (f(x])^f(x1)).
Возрастающие, убывающие, неубывающие и невозрастающие функции называют монотонными функциями. Возрастающие и убывающие функции называют строго монотонными.
О Примеры.
1. y = lgx — строго монотонно возрастающая функция во всей области определения (см. рис. 1.11).
2. ^=^^ —строго мо но іонно убывающая функция в об
ласти определения (см. рис. 1.10).
у — хг— функция, возрастающая в промежутке [0, +оо[ и убывающая в промежутке ]^ оо, 0] (см. рис. 1.5).
^ = [jc] — целая часть числа х (см. рис. 1.18) — неубывающая функция, #
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы