4.19. понятие непрерывности функции в точке

4.19. понятие непрерывности функции в точке

Пусть функция/(Af)—f (xu х2, ..-,х„) определена на множестве

7cR"h пусть точка Ма(х\; х2; xl)e К является его предельной точкой.

Функция / (М) называется непрерывной в точке М0, если для любого числа £>0 можно указать окрестность S, (М0) точки

ш

А/о так, что для всех точек MeS, (А/0) f] V выполняется неравенство f(M)-f(M0)\<E.

Непрерывность функции / (А/) в точке Л/о означает существование предела lim / (А/) и равенство этого предела значению

функции в точке А/о, т. е. Um /(А/)=/(А/0).

В этом же случае для любой последовательности точек {А/*},

Мке сходящейся к точке А/0, последовательность значений функции /(A/i), /(А/2), /(А/*), ... сходится к /(А/в) (см. п. 4.10).

Условие lim f(Af)—f(M0) равносильно условию

lim [/"(А/)—/(А/0)] = 0. Если при этом точка А/ имеет координатно

ты (жь х2;хя), то разности jc( — xi, х2~х°,х„ — х°„ обозначают соответственно через Ахи Ах2, Ах„ и называют приращениями аргументов, а разность f(M)—f (А/0) — через Af (А/0) и называют приращением функции в точке А/о, соответствующим данным приращениям аргументов Ах1г Ах2, Лх„. Тогда условие

Jim [f(M)—f(Mu)]—0 может быть записано в виде А/(М0)-*0

при Ахі-*0, Ах„-*0 и, следовательно, непрерывность функции / (А/) в точке А/о означает, что ее приращение стремится к нулю, когда приращения всех ее аргументов также стремятся к нулю.

В частности, функция y=f(x) одной переменной, определенная в некоторой окрестности точки х0, является непрерывной в этой точке, если для любого числа £>0 можно указать зависящее от £ число 5>0 такое, что для всех х, удовлетворяющих условию х—Хо\<6, выполняется неравенство f (х)—/(х0)\<е,

т. е. lim / (х) =f (хо) или lim AT(jco) = 0. о Примеры.

Линейная функция _у=а1х1 + ... + апхл непрерывна в любой

точке А/ (хи ху, ..; xJeR*.

Квадратичная функция y—aux2i + a22x2--... + a„„xl + + 2а12х1х1 +... + 2аІЯХіХя+2а2іх2хг +... + 2а„_ ]пх„ _, х„ непрерывна

в любой точке из R".

Функция f(x) = sinx непрерывна при любом xeR1. Действительно, взяв произвольно точку jCoeR1 и приращение Дх, найдем, что Af (jc0)=sin (x0+Ax)—sin Хц=2 sin — cos (x0+—|,

2 V 2 J

откуда

lim Д/(х0)= lim 2sin — cos I Xo-i— 1 = 0. #

x-o Д1-.0 2 2 I