4.21. свойства функций, непрерывных на множестве

4.21. свойства функций, непрерывных на множестве

Функция f (Af) называется непрерывной на множестве V, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

1°. Если функция /(Af) непрерывна на ограниченном замкнутом множестве V, то она ограничена на этом множестве.

2°. Если фунхция / (Af) непрерывна на ограниченном замкнутом множестве V, то она достигает на этом множестве как наименьшего, так и наибольшего своих значений, т. е. на множестве V найдутся точки Л/, и Afz такие, что / (Jl/,)=inf {f (Af)}

h/(M2) = sup {/(Af)}.

V

В частности, для функций одной переменной справедливы следующие утверждения:

а) если функция / (х) непрерывна на отрезке [а. Ь], то она

ограничена на этом отрезке, т. е. существует число d такое, что

f (х) ^ d для всех х є [а, Ь];

б) если функция f (х) непрерывна на отрезке [а, Ь], то она

достигает на этом отрезке как наименьшего /, так и наибольшего

L своих значений, т. е. найдутся точки jet є [a, b] и х2е[а, Ь] такие,

4T0/(x1) = /=inf if(x)},f(Xl)=L=sup{f(x)}.

[Д. *] la. b

Кроме указанных свойств для функций одной переменной] имеют место следующие свойства: j

3°, Если функция f{x) непрерывна на отрезке [а, Ь] и на; концах этого отрезка принимает значения разных знаков (f (o)f Ф)<0), то найдется хотя бы одна точка с (а<с<Ь) такая, что/(с) = 0.

4°. Если функция / (х) непрерывна на отрезке [а, Ь], то она

принимает хотя бы по одному разу все промежуточные значения

от наименьшего / до наибольшего L, т. е. для любого числа ц,

заключенного между / и L найдется точка с є [а, Ь]

такая, что / (с) = д.