4.24. непрерывность обратной функции

4.24. непрерывность обратной функции

Если функция одной переменной y=f(x) строго монотонна и непрерывна на отрезке [а, Ь], то обратная функция x=g(y) определена, строго монотонна и непрерывна на отрезке с концами в точках f (а) и f(b).

Если функция одной переменной у=/(х) строго монотонна и непрерывна на интервале ]а, Ь[ (конечном или бесконечном) и если существуют (конечные или бесконечные) односторонние

пределы с = lim / (х) и о*= lim / (х), то обратная функция

JT-.U + 0 х—Ь-0

х=8 (У) определена, строго монотонна и непрерывна на интервале ]с, а.

4.25. Точки разрыва функции

Пусть функция одной переменной y=f{x) определена в некоторой окрестности точки х0, за исключением, быть может, самой

ТОЧКИ Х0. ЕСЛИ фуНКЦИЯ /(х) НЄ ЯВЛЯеТСЯ непрерывной В ТОЧКе Хо,

то говорят, что в точке Хо функция терпит разрыв, и точку хо называют точкой разрыва функции.

Точку х0 называют точкой разрыва первого рода, если существуют конечные односторонние пределы / (х0 0) = lim / (х)

и /(хо + 0)= lim /(х), но /(х0-0)^/(х0 + 0). В этом случае

наибольшую из разностей между числами /(х0), /(х0-0), /(х0 + 0) называют скачком функции f(x) в точке х0. Например,

для функции / (х) = —-— точка Хо — 0 является точкой разрыва,

І+2іУі

так как в этой точке функция не определена (f (0) не существует). При этом/(-0)= lim /(х) = 1,/(+0)= lim /(х) = 0. Следовательно, точка хо=0 является точкой разрыва первого рода, а разность /(—0)—/( + 0)=1—скачком данной функции (см. рис. 4.3).

Точку х0 называют точкой устранимого разрыва, если конечные односторонние пределы /(х0—0) и /(хо + 0) равны между собой, но не совпадают со значением /(х0), если только оно существует.

ТІ л. rt ч W ПРИ Х*2> '

Например, для функции ]х)-л „ имеем

(1 при х — 2

/(2-0)=/(2 + 0)=Hm х2=4, однако 4=/(2-0)=/(2 + 0)*/(2) =

= 1. Следовательно, точка х = 2 является точкой устранимого разрыва функции / (х) (рис. 4.6).

"6

Термин «устранимый разрыв» оправдан тем, что достаточно доопределить или переопределить функцию в точке Хо для того, чтобы она стала непрерывной в этой точке. В рассмотренном примере надо положить g (2)=4 = lim / (х); тогда функция g (х)=

*-*2

fx1 при х^2, „

является непрерывной в точке х0 = 2.

(4 при х = 2

Точку Хо называют точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов/(х0—0) и/(х0+0) не существует (в частности, бесконечен). Например, для функции f(x) = elx

ok

0 Рис. 4.7

точка х0=0 является точкой разрыва второго рода, так как

/<-0) = 0,Л+0)= + оо(рис. 4.7).

Замечание. Функция п переменных y=f{xu хъ хп) может иметь не только изолированные точки разрыва, а целые множества точек разрывов (линии, поверхности разрывов).

Например, функция/(х}, хг)-

имеет разрыв во

всех точках параболы хг=х] и во всех точках прямой х2 = — xt.