5.10. производные и дифференциалы высших порядков
5.10. производные и дифференциалы высших порядков
Если для функции y—f(x) определена производная У"" порядка (л — I), то производную уп) порядка л (при условии ее существования) определяют как производную от производной
порядка (л-1), т. е. / = (/ ').
В частности, у"=(у')' — производная второго порядка, у"' — = (у")' — производная третьего порядка и т. д. Другие обозначения производных высших порядков:
d У IV _ м , ч —, У , У хх, У, У (х).
Ах
При вычислении производных высших порядков используют те же правила, что и для вычисления у'. Например, если у=с , то
у'=ех -2х,
/'=(е*у-2х+е",-(2*)'=
=е*' ■ 1х ■ 2х + с' ■ 2=2е' ■ (2х2 +1).
Дифференциалы высших порядков функции y=f(u) последовательно определяют таким образом:
d2y=d (dy) — дифференциал второго порядка,
d3y=d (d2y) — дифференциал третьего порядка
При этом если y=f(u) и и — независимая переменная или линейная функция и = кх+Ь переменной х, то d2y = y" (d«)2;
dV=y (d«)3; ...;dV=yw■(«!«)".
Если же y=f(u), где И=£ (x)?i^je + 6, то
d2y=f" (и) (du)2+f (u)d2u и т.д. (свойство инвариантности формы не выполняется). Например, для функции у — Ъи5—4ы2 + 7 ее первый дифференциал dy=(5uA — 8«) d« независимо от того, является ли и независимой переменной или функцией другой переменной;
d2y=(60u3 — 8) (du)2, если и — независимая переменная;
d2y = d (15и*-8и) d« + (15u4-8«) d (du) = (60u3-8) (du)2 + + (15u* — 8u) dzu, если u — функция другой переменной.
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы