8.4. оптимальное потребление в однопродуктовой макроэкономической модели

8.4. оптимальное потребление в однопродуктовой макроэкономической модели

Пример. 8.4. Применим принцип максимума Понтрягина к экономической задаче оптимального управления, представляющей модификацию задачи, рассмотренной в главе 5.

Пусть управляемая система представляет экономику страны или региона, моделируемую с помощью однопродуктовой модели валового выпуска продукции, т.е. процесс экономического роста задается уравнением

Обратим внимание, что здесь по сравнению с [12, формула 6.12)] изменено обозначение доли произведенного конечного продукта (1 — и = s).

Так как доля произведенного продукта, идущая на потребление, равна 1 — s, то величина с потребления на единицу рабочей силы может быть выражена следующим образом:

c = (-s)(l-a)f(k).

С учетом данного соотношения уравнение (8.56) перепишем так:

dk dt

= -(i + n)k + {-a)f(k)-c.

(8.57) 165

Выражение (8.57) и будем рассматривать как уравнение управляемого процесса. Управлением в данном случае является потребление с > О, ибо оно влияет на значение функционала качества управления и в уравнение процесса входит только само по себе, без производной. Чтобы сформулировать задачу оптимального управления, введем упомянутый функционал

/ = J e_<5'g(c) dt -> max. (8.58) о

Здесь g(c) — некоторая зависящая от величины с функция, называемая в теории потребления функцией полезности. Эта функция дает оценку «полезности», т.е. эффективности потребления при различных его значениях.

Относительно функций полезности принято считать, что они обладают следующими свойствами:

если сх > с2(> знак предпочтения), то g(c{) > g(c2);

*>о, еслис + Ас>с (Ac>0);*^M прис^стіп;

dc ' dc dc

при с —> оо;

^!i<o при с + Ас >с (Ас > 0). dc2

Полезность измеряется неоднозначно с точностью до монотонно возрастающего преобразования. Перечисленные условия характеризуют такие свойства полезности, как неотрицательное монотонное возрастание с ростом потребления (свойство 2) и происходящее при этом насыщение (свойство 3).

Будем считать, что наряду с состоянием системы в начальный момент времени tQ = 0 задано и ее конечное состояние при t= Т:

к(0) = kQi к(Т) = кх. (8.59)

Задача оптимального управления состоит в том, что требуется отыскать такое потребление с(/), чтобы при выполнении ограничений (8.57) и (8.59) функционал (8.58) достигал максимального значения. Данная постановка является обобщением рассмотренной в главе 5 задачи, где в качестве функции полезности выступало дисконтированное среднедушевое потребление, хотя термин «полезность» не употреблялся.

Условие максимума функции Я с учетом вида функционала (8.58) примет вид

Н = + п)к + (1 a)f(k) с] + e~5tg(c) -> max, (8-60)

с

где |/ — сопряженная переменная, определяемая уравнением

^ = -§ = [ц + я-(,-а)|]ч/. (8.61) dt dk dk

Проанализируем гамильтониан (8.60). В нем от с зависит лишь часть слагаемых:

Нетрудно видеть, что с учетом свойства 3 функций полезности д Ис _ Q-8t d_& < q Следовательно, в точке обращения в Эс2 Л:2

Э //

нуль выражение (8.62) (а вместе с ним и (8.60)) будет

достигать максимального значения. ^

Приравнивая нулю производную -г-^-» получим

ос

* = уе5'. (8-63) dc

Из свойств 2 и 3 функций полезности следует, что уравнение (8.63) при положительных |/(0 имеет решение, причем единственное. На рис. 8.4 оно обозначено стах.

Уравнение (8.63) можно использовать для того, чтобы выразить сопряженную переменную через управление с. Находя из формулы (8.63) значение |/ и дифференцируя по /, получаем

(8.64)

Л

(d2gdc _54^

dc2 dt dc

Наконец, подставляя из формул (8.63) и (8.64) значения |/(/)

и — в формулу (8.61), окончательно будем иметь dt

dc dt

|і + /і + 5-(1-я)

dg(c) df(k)~ dc

dk d2g{c)

(8.65)

dc2

Таким образом, принцип максимума в данной задаче позволяет для отыскания оптимального процесса (k(t), c(t)) получить систему дифференциальных уравнений (8.57) и (8.65). Для этой системы требуется решить краевую задачу с условиями (8.59). При этом удовлетворительным следует считать лишь такое решение, при котором (k(t)9 c(t)) неотрицательны.

Вопросы для самопроверки

На каких этапах развития экономики вы видите возможность применять модели магистрального типа?

Что понимается под магистралью в экономике?

Как можно доказать аналитически единственность решения о движущемся объекте?

Какие нужны исходные данные для задачи о календарном планировании поставки продукции? Что на практике сложнее: подготовка исходных данных или техника решения задачи?

Разработайте структурную схему программы для непрерывного варианта оптимального планирования поставки продукции.