Математический аппарат теории оптимального управления

Математический аппарат теории оптимального управления

1.1.

Основные понятия и определения теории множеств и теории функций

Понятие множества в математике постулируется, чтобы оперировать с некоторыми совокупностями чисел, матриц, функций, других элементов, принадлежащих этим совокупностям. Множества могут быть конечными, бесконечными, пустыми. Конечное множество включает ограниченное число элементов, их можно пересчитать. Бесконечное множество содержит бесконечное число элементов.

Пусть заданы множества Xи Yc элементами хе X и у є У. Прямым (декартовым) произведением множеств X и У называется множество Z — Хх Y, которое включает всевозможные пары v — (х; у), где х є X, у є У, v є Z

Пример 1.1. Пусть даны множества X — {х 0 < х < 1}; Y = = {у: 0 < у < 1}. Тогда Z = X х Y — единичный квадрат: Z = = {v = (х, у): 0 < х < I, 0 < у < 1} (рис. 1.1).

Пусть далее некоторое множество Кявляется подмножеством прямого произведения Z— Хх У, это обознается как Vа Хх Y.

На рис. 1.2 изображен случай, когда Хи Y— множества всех действительных чисел, Z= Хх Y— вся координатная плоскость, V — некоторое ограниченное подмножество на этой плоскости.

Проекцией множества V на множество X называется такое множество Vx (см. рис. 1.2) всех элементов х, для которого каждому элементу х є Vx можно поставить в соответствие по крайней мере один элемент у є У, так чтобы пара (х, у) є V.

1

Рис. 1.1. Иллюстрация прямого произведения множеств единичный квадрат

V= (х,у)

Сечением множества Кпри данном х (см. рис. 1.2) называется множество Vх всех элементов у є К, каждый из которых в паре с заданным х образует элемент и = (х, у) є V Vх Ic К

При этом будем обозначать х є V; у є Vх.

Этот частный случай встретится при изучении в главе 6 алгоритма принципа максимума Понтрягина, где у є V. В общем случае имеют место обозначения х є Vx у є Vх.

Функция у = f(x) называется законом отображения множества Х(х є Л) на множество Y(y є Y). Функциональная связь/ — конкретный вид этого отображения. На множества X и Y в общем случае ограничения не накладываются. Элементами этих множеств могут быть действительные или комплексные числа, векторы, матрицы, логические переменные и т.д.

Если в функциональной зависимости у = f{x) множество Y — числовая ось или ее отрезок, то такую функцию называют функционалом. Очевидно, что при принятых определениях функционал представляет частный случай функции. Всякий функционал является функцией, но не всякая функция будет функционалом. В связи с этим в задачах математического программирования целевую функцию иначе называют функционалом. В данном случае оба эти понятия эквивалентны.

При изучении ТОУ необходимо понимать разницу между понятиями max и sup, min и inf соответственно.

По определению max/(.*) = /(**), если f(x*)> f(x) для V хе Х

хеХ

jc* = arg max f(x). хеХ

Аналогично min f(x) = /(jc*), если /(**) < /(jc) для V xє X;

лєХ

jc* = arg min /(jc). xeX

Пример 1.2. Найти max /(jc)h min /(jc), если f(x) = 2x2

0<x< 1 0<jc< l ^

(рис. 1.4).

2

Если сказать, что 1 = arg max /(jc), а 0 = arg max f(x), то ответ

0<jc<1 0<jc<1

будет неверным, так как ни х = 0, ни х = 1 не принадлежат допустимой области 0 < х < 1. Если в качестве аргумента максимума J{x) принять некоторое близкое к единице значение х = 1— є, где є — положительное малое число, то ответ также будет неверным, ибо можно взять значение х = [-— более близкое к еди2'

нице, при этом будет /(1—)>/(!-є). Если остановимся на выборе значения * = !--, то вновь можно будет взять число

х = -1у при котором /(1-^-)>/(1-^), и т.д. Таким образом, получается бесконечная последовательность значений

/0-е)</(1-|)</(1-^)<..., стремящаяся к/(1) = 2.

Подобную последовательность называют максимизирующей, а значение /(1) = 2= sup /(*), l = arg sup f{x).

0<д:<1 0<д:<1

Аналогичное рассуждение можно провести в отношении окрестности точки х = О, получив при этом минимизирующую посє є

ледовательность /(є) >/(-)> /(-) >...-> О:

/(0) = 0= inf /(jc); 0 = arg inf f(x). 0<д:<1 0<x<

Если точки 0 = arg inf f(x) и 1 = arg sup f(x) принадлежат

0<X<1 0<A<1

области допустимых значений x є А"для функции/(х), то инфи-нум совпадает с минимумом /(х), а супремум — с максимумом /(х). Таким образом, инфинум и супремум для некоторой функции могут существовать тогда, когда минимум или максимум не существует. Другими словами, понятия инфинум и супремум более общие, чем понятия минимум и максимум.

Нетрудно, однако, привести пример, когда для функции на заданном множестве не существуют ни минимум, ни максимум, ни инфинум, ни супремум (рис. 1.5).

Таким образом, если минимум или максимум функции, заданной на некотором множестве, не существует, то инфинум или супремум может существовать, но это не означает, что последние существуют всегда. Пример, показанный на рис. 1.5, это иллюстрирует.

1.2.

Оптимизация функций на ограниченном множестве

Пусть при х є [а, Ь] задана непрерывная функция /(х). Требуется найти max f(x). Для решения этой задачи вначале необхе[а,Ь]

ходимо найти стационарные точки функции / (х), т.е. такие, в

которых — = 0 (множество стационарных точек обозначим чеах

рез X, условие ХєА"означает, что Хє[я, b]). Поскольку — = 0 dx

необходимое условие локального экстремума, отвечающее и минимуму, и максимуму, следует установить в каждой стационарной точке характер экстремума. Если в стационарной точке X, кроме того, существует отличная от нуля вторая производная

d2* то при ^~4-<0 в этой точке обеспечивается локальный dt2 ' dt2

2 2

максимум, а при —£>0 — локальный минимум. При —= о в

dt2 dt2 точке X о характере локального экстремума, если он в ней существует, следует судить по знаку отличной от нуля производной более высокого порядка.

d2x Л d3x

Если в стационарной точке —г= 0,а—г-*0, то X — точка

dt dt3

перегиба, и локальный экстремум в ней не достигается.

Если в точке X производная не существует или —= 0,

dr dt2 о характере локального экстремума в этой точке можно

df df судить следующим образом: если ^с>0при"*>Х ~h и

при х < N — А, где h — достаточно малое положительное число, то

N — точка локального максимума. Если — <0 при х > N — И

dx

и 4L>o при х < N + h, то X — точка локального минимума. dx

Если при х = N производная Цимеет одинаковый знак при

ах

л; > N — Л и х < X + А, то К точка перегиба. В этой точке меняется выпуклость функции, а экстремум в ней не достигается.

Таким образом, среди всех стационарных точек ХЛ є Родним из указанных выше способов можно установить точки локальных максимумов.

Пусть это будут точки X,,..., Добавим к ним граничные точки х = акх = Ьк определим max/ (х) на множестве х є Z, где Z={X„..., Xm, а, Ь).

Точка л* е Z, в которой достигается максимальное значение

/(х) (сл*. разд. 1.1), обозначается x* = argmax/(x).

Если необходимо найти не max/(х), a min /(х), все сказанное выше остается в силе по отношению к функции Э(х)= -/(х): операция min/(х) эквивалентна операции max [—/(*)]•

Монотонная при хє Z функция/(х) (т.е. такая, для которой

df л „

— *0, в том числе и линейная) достигает максимального зна-dx

чения только на границе. При этом если — >0 при х є Z, то

dx

6 = argmax/(x); если df <г то я = argmin/(x).

1.3.

Зависимость функции и множества от параметра

В каждой теме курса ТОУ будет встречаться более сложная, чем рассмотренная в разд. 1.2, задача: найти тах/(х, Г), где t — параметр, х — аргумент, х є X(i), t є Q.

Предполагается, что функция/(х, /) — непрерывная по х, где Q — множество допустимых значений параметра t.

Логика решения в принципе та же, что и рассмотренная в разд. 1.2, только результаты будут зависеть от параметра t.

В самом деле, зафиксируем значение параметра Г, задав t = = tgQ. Тогда функция/(х, f) и множество допустимых значений х станут только функциями аргумента х:

/(х,;) = /(х,т) = Р(х), X(t) = X(x).

Задачу max Р(х) при хє [X(t)]9 если этот максимум существует, можно решить, следуя методам, изложенным в разд. 1.2. Если этот максимум существует при хє Q, можно записать

х*(х) = arg max Р(х).

Придавая параметру / последовательно фиксированные значения т2,, т3, однотипным образом будем получать х*(т2), *?3ч " °стается по точкам построить график функции () = arg^(Xo/(^° (?ис

Однако такой метод не всегда приемлем на практике. Во-первых, он трудоемкий, если принять во внимание достаточно большое число фиксированных значений tv tv ... Во-вторых, построение графика функции х*(Г) по точкам не всегда может оказаться точным, поскольку между любыми двумя точками она может обладать какими-либо особыми свойствами, не выявленными при построении графика по точкам.

Точнее и проще максимизировать функции исходя из их аналитических свойств, что будет показано на следующих примерах.

Пример 1.3. Максимизировать функцию /(х, t) = tx; О < х < t2

И<і.

В данном случае функция/(х, t) линейна по х. Следовательно, при t ф О она стационарных точек не может иметь, и максимум достигается на границе: либо в точке х = О, либо при х = і1. Вычислим значения f(x, і) в этих точках и сравним их при различных значениях t

/(О, t) = 0,/(/2, t) = fi.

При / < 0 f(0,t)> f(t2, Г), так как Г3 < 0. Следовательно, при / < 0 максимальное значение функции / {х, і) достигается в точке х* = 0.

При t > 0 f(0,t)< f(t2, Г), так как /3 > 0. Поэтому максимальное значение функция /(х, і) достигает в точке х* = t2. Наконец, при t = 0f(x, t) = 0, причем существует лишь одно допустимое значение х* = 0 (0 < х< t2 = 0). Следовательно, оно и будет точкой максимума функции f(x, t) при t = 0. Как видно, случай t = 0 охватывается обоими условиями.

Все рассмотренные случае объединяются в одну результирующую формулу:

[0, -1<г<0;

х * (/) = arg max f{xj)

0<;с<Г2 ' [/2, 0<г<1. Пример 1.4. Найти максимум функцииДх, /) = їх2 + 2х; |х) < 1;

И<1.

Функция / (х, і) представляет параболу, ориентированную ветвями вниз при / < 0 и ветвями вверх, если t > 0. При / = 0 / (х, 0) = 2х — линейная функция, и максимум достигается на правой границе х*(0) = 1. Рассмотрим случаи: -1 < / < 0 и 0 < Г< 1.

При t < 0 вершина параболы xB(t) — точка безусловного максимума функции — определяется из необходимого условия

Эх

вершине параболы равно

^= 2гх + 2 = 0, откуда хв(Г) = -1//. Значение функции / (х, f) в

t t t д:в(-1) = 1,/(1-1) = 1при/ = -1;

хв(~) = 2,Л2~) = 2при/ = ~; д:в(~) = 3,/(3,~) = Зпри/ = -і;

Хв (-0) -» оо, /(оо, -0) —> оо при / —> -0.

В результате семейство парабол, отвечающее случаю —1 < t< 0, будет иметь вид, представленный на рис. 1.7.

При всех значениях —1 < / < 0 максимальное значение функции /(х, і) при |jc| < 1 достигается в точке **(/) = 1 (границы х = = —1 и х = 1 на рис. 1.7 отштрихованы).

Данный вывод может быть получен и аналитически. Действительно, имеется одна стационарная точка — вершина параРис. 1.7. Семейство парабол / (х, t) = tx2 + 2х при -1 < t < О

болы: xB(t) = --. При — 1 < t< О хв(Г) > 1, причем хв(1) = 1 только

для крайнего значения t = —1. Следовательно, при —\<t< 1 функция / (х, і) монотонно возрастает, достигая максимума в граничной точке = 1.

Рассмотрим теперь случай 0 < t < 1: парабола /(х, i) = tx2 + + їх ориентирована ветвями вверх (рис. 1.8).

В стационарной точке xB(t) = -достигается абсолютный

минимум функции / (х, і). Следовательно, максимум по х при условии |х| < 1 достигается только в граничных точках х = ±1. Определим точку максимума путем прямой подстановки значений х = ±1 в выражение / (х, t) = tx2 + 2х, / (1, /) = / + 2, /(_!,,) = ,_ 2.

Из полученного результата /(1, /) > /(—1, 0 вытекает, что = 1 при 0 < / < 1. Таким образом, для всех рассмотренных случаев получаем

x*(t) = arg max(/jt2 + 2х) = 1; < 1.

М<і

Пример 1.5. Вычислить максимальное значение функции f(x, t) = -Xі + 2tx 0 < х < 2; И < 2.

В данном примере функция / (х, t) представляет параболу, ориентированную ветвями вниз при любых значениях Г, так как коэффициент при Xі отрицательный и не зависит от /. При различных значениях t возможны три случая ориентации параболы, изображенные на рис. 1.9:

максимальное значение функции достигается в точке **(/) = xB(t), если xB(t) лежит в допустимой области изменения х (эта область 0 < х < 2 отштрихована);

максимальное значение достигается на правой границе (в точке я* = 2), если значение xB(t) лежит правее правой границы;

максимальное значение достигается на левой границе (в точке jc* = 0), если значение xB(t) лежит левее левой границы.

Переведем сказанное выше на язык математических соотношений. Абсциссу вершины параболы определим из условия

= 0, что дает — = -2х + 2t = 0; xB(t) = t. Нанесем функцию xAt) =

ох дх в

— t— след вершины параболы при изменении / — на координатную плоскость (/, х), допустимые изменения аргумента х и параметра / отштрихованы (рис. 1.10).

При 0 < t< 2 абсцисса вершины параболы xB(t) лежит в допустимой, отштрихованой области 0 < х < 2. При 0 < / < 1 х*(/) = = /, при 1 < t< 2 х*(0 = 2. При -2 < t< 0 след вершины параболы лежит ниже нижней границы х = 0, это дает нам **(/) = 0 (см. рис. 1.10).

В дальнейшем наиболее часто будем встречаться (для учебного процесса этого достаточно) именно с функциями f(x, /), подобными рассмотренным выше, т.е. линейными по х, а также представляющими по х параболу, ориентированную ветвями вверх или вниз.

Для линейной по х функции / (х, t) = A (t) х + В (0, где a (t) < х < b (t), как следует из вышеизложенного, максимум достигается в точке **(/), заданной формулой

jc*(0:

b(t) tG{t:A(t)>0}]

a(t) tE [t: A(t)<0}

/xG[a(t)(t)] e{t:A(t) = 0}.

Если / (x, t) — парабола, ориентированная ветвями вверх, максимум достигается только на границе. При этом исследование стационарных точек оказывается излишним.

Если f(x, і) — парабола, ориентированная ветвями вниз, максимум достигается в точке

jc*(r):

агёД = 0);а^(| = 0)е[й(');^)];

дх af

b{t); arg(^= 0) >b{t);

ox

a{t) ы

arg(^= 0)<a(f). ox

1.4.

Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка

= /(*.*) (»■!)

dt

имеет решение х = х (/), удовлетворяющее начальному условию *('о) = хо> если Функция /(х, t) непрерывна в некоторой окрестности точки (/0, XQ).

Точнее, если функция /(х, t) непрерывна в открытой области D (не включая границу этой области) и в ней выполняется условие Липшица

f(x, t)-f(x,y)\<Mx-& (1.2) где М — некоторая положительная константа,

то дифференциальное уравнение (1.1) при любом начальном условии x(tQ) = х0 (где точка (Г0, х0) є D) имеет единственное решение, определенное в области D (теорема существования и единственности решения для задачи Коши).

Достаточным условием выполнения формулы Липшица (1.2)

является ограниченность в области D частной производной

ох

Если функцию / (х, t) можно представить в виде / (х, і) =

= ^ ^ , то в уравнении (1.1) переменные разделяются и его можно переписать следующим образом:

dx dt

Общее решение этого уравнения имеет вид

Чх(х) 42(t)

где С — произвольная постоянная интегрирования. Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 1.6. Решить уравнение при заданном начальном усdx dx ловии: — = ^jc;jc(0) = 4. Разделение переменных дает —-tdt.

dt х Интегрируя левую и правую части соответственно по х и по /,

получаем

ln|jc| = — + 1пС. П-3)

1 1 2

Вместо произвольной постоянной С в общем решении (1.3) введем In С (так будет легче потенцировать), т.е. если С — произвольная постоянная, то и In С — произвольная постоянная. Потенцирование дает более компактный вид:

2

дс(0 = Сехр(у). С-4)

Произвольная постоянная С в формуле (1.4) определяется из начального условия х (0) = 4, что дает С = 4.

Решение задачи Коши, удовлетворяющее начальному условию:

г2

*(0 = 4ехр(у).

dx 9

Пример 1.7. Решить уравнение — = (1 + * )cosr; х (0) = 1.

dt

Разделение переменных дает

= cos t dt.

1 + х2

После интегрирования левой части по х, а в правой по t получаем arc tg х = sin t + С, откуда x(f) = tg (sin t + С).

Обращаясь к начальному условию х (0) = 1, получаем 1 = tg С,

откуда С = —. Следовательно, решение задачи Коши: 4

*(0 = tg(sinr + ^).

4

1.5.

Линейные дифференциальные

уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Теория линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами разработана для произвольного порядка я, однако в курсе ТОУ уравнения более высокого порядка, чем второй, нам не потребуются. Этим и объясняется указанный выбор.

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

d2x , dx r. . ( <ч

a — + b — + cx = f(t), V-*) dt2 dt

где a, b и с — постоянные коэффициенты.

Если функция / (х) ф О, уравнение (1.5) называют неоднородным, при /(х) = 0 — однородным дифференциальным уравнением.

В случае афО выражение (1.5) уравнение второго порядка. Более высокие порядки при изучении ТОУ нам не потребуются. Решение уравнения (1.5), включающее две произвольные постоянные и правую часть / (х) = 0, называют общим решением однородного уравнения. Обозначим его xx(t). Частное решение неоднородного уравнения — это любое решение уравнения (1.5) при /(х) ф 0. Обозначим его x2(t).

Общее решение x(t) неоднородного дифференциального уравнения (1.5) состоит из суммы общего решения однородного уравнения jcj(0 и частного решения x2(t) неоднородного уравнения:

x(t) = x{(t) + x2(t). (1.6)

Две произвольные постоянные в общем решении однородного уравнения jc^O определяют, задав либо начальные условия: t= t0 x(tQ) = х°, — = Xі (задача Коши); либо краевые: х =

dt

= ('о) =;с0' ^('і) = (двухточечная краевая задача).

Общее решение однородного уравнения xx(t) определяется корнями характеристического уравнения

ар2 + bp + с = 0. (1.7)

Рассмотрим возможные при этом случаи.

Корни рх и р2 характеристического уравнения (1.7) действительные и разные (/?! ф р2). При этом

xx(t) = С, ехр (/>, t) + С2 ехр (р2 0, (1.8)

где С, и С2 — произвольные постоянные.

Корни /7р ^действительные и равные: /?, = р2 = s. Тогда

х1(/) = ей(С,/+ С2). (1.9)

Корни /?,, р2 комплексно сопряженные: pv p2=j ± ig, где j и g действительные числа, / мнимая единица, /2 = -1. Данному случаю отвечает решение

= е>' (С, cos gt + С2 sin gt). (1.10)

Применительно к дифференциальному уравнению (1.5) значения x{(t) в указанных трех случаях исчерпывают все возможные варианты общего решения однородного уравнения. Вид частного решения неоднородного уравнения x2(t) зависит от правой части уравнения (1.5) и представляется в аналитической форме лишь для определенных частных случаев функции f{t):

1) правая часть уравнения (1.5) многочлен степени т:

f(t) = а0ґ» + а{ґ»-і + ...+ ат, (1.11) где д0, Ар..., ат — заданные коэффициенты.

При этом x2(t) также ищем в виде многочлена степени т:

x2(t) = yQf" + У,*""1 + ... + Ут. (1.12)

Коэффициенты у0, Yp •••> Ym подлежат определению, для чего в левую часть уравнения (1.5) подставляют выражение типа (1.12), а в правую часть — выражение (1.11). После двойного дифференцирования (1.12), подстановки и приведения подобных членов в левой части уравнения (1.5) в обеих его частях получают многочлены степени т. Для того чтобы эти многочлены тождественно совпадали при любых значениях t, должны совпадать их коэффициенты при одинаковых степенях t в левой и правой частях уравнения (1.5). Приравнивая слева и справа коэффициенты при свободных членах и множителях г, /2, /™, получим т + 1 алгебраических уравнений для определения т + 1 коэффициентов y0> Yp —» YmТем самым оказывается полученным частное решение неоднородного уравнения x2(t). Общее решение неоднородного дифференциального уравнения (1.5) определяется по формуле (1.6);

2) функция /(t) экспоненциальная:

f(t) = Сеа'. (1.13)

В зависимости от корней характеристического уравнения (1.7) возможны различные варианты задания x2(t)

а) пусть корни р{ и р2 не совпадают с величиной а : а * р{, а*р2. Тогда частное решение неоднородного уравнения ищем в виде x2(t) = А еа', где величина А подлежит определению. Выполняя аналогичные действия (см. формулы (1.11) и (1.12)) и приравнивая в уравнении (1.5) множители при еа/ в левой и правой частях, получим значение А:

аа2 +Ьа + с

Здесь аа2 + Ьа + с ф О, так как по предположению а ф /?,, а ф р2

б) корни рх и р2 действительные и разные, и величина а равна одному из них, например а = pv Тогда x2(t) ищем в виде x2(t) = — At еа/. После аналогичных указанных выше вычислений, приравнивая в левой и правой частях уравнения (1.5) множители при еа/ и приводя подобные члены, получим

2аа + b'

в) корни рх и р2 действительные и равные, и их значения совпадают с величиной а:

Р = Pi = = а> Ь2= 4ас. 2а

Тогда x2{t) ищем в виде x2(t) = At2 еа/. Подобно приведенным выше случаям, учитывая, что а — корень характеристического

уравнения (1.7), получаем д= ^ .

2а

3) правая часть в уравнении (1.5) имеет вид

f(t) = A cos Ш + В sin Ш, (1.14)

где у4, В, аз — заданные числа.

Если корни характеристического уравнения (1.7) /?р р2 действительные или комплексно сопряженные pv р2 = а ± /(3, при этом либо а ф 0, либо а = 0, но (3 ф со, x2(t) ищется в виде x2(t) = = С cos Ш + Z) sin со/, коэффициенты С и D подлежат определению, которое выполняется в принципе по той же схеме, что и в предыдущих случаях, а затем в левой и правой частях дифференциального уравнения (1.5) приравниваются коэффициенты при cos со/ и sin со/. В результате получаем систему двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными С и D:

x2(t) = С cos t + D sin / + Et + F.

(1.18)

Здесь коэффициенты С, D, E и /"подлежат определению.

Вычисляя первую и вторую производные отх2(/), подставляя их в исходное уравнение (1.5) и приравнивая в левой и правой частях множители при /, cos /, sin / и свободные члены, получаем систему из четырех линейных алгебраических уравнений:

С-2D= 1; 2С + D = 0; 2Е= -3; -2Е+ 2F= 0.

Решение этой системы:

З 1 2 F = E = - ; С= ; D= . 2 5 5

В дифференциальном уравнении (1.5) с учетом начальных условий (1.17) определяются две произвольные постоянные интегрирования в общем решении однородного уравнения Xj(/), вследствие чего имеет место результат решения задачи Коши (1.16) и (1.17):

3 2 1 2 3 3

x(t) = е'(—cosr + — sinr) + -cosr—sin г—t—.

2 5 5 5 2 2

В задачах ТОУ с применением принципа максимума Понт-рягина, как будет показано в разд. 6.2, необходимые условия оптимальности сводятся не к задаче Коши, а к двухточечной краевой задаче. Для рассматриваемого дифференциального уравнения (1.16) вместо второго начального условия (1.17) примем краевое условие

*ф = -2(1 + ї). (1.19) 2 2 2

После соответствующих подстановок с использованием первого начального условия (1.16) и краевого условия (1.19) получим решение поставленной краевой задачи:

, ч /,3 2 _я/2 . ч 1 2 . 3 3

x(t) = е (-cosf+ -е sinr) + -cosr—sin/--t--.

2 5 5 5 2 2

Как видим, разница в решениях задачи Коши и краевой задачи определяется только множителем е~л/2 во втором слагаемом, но это, вообще говоря, зависит от конкретного вида краевого условия типа (1.19). При другом условии результаты решений задач могли быть совершенно различными.

Сопоставление методов решений в двух рассмотренных вариантах (для задачи Коши и для краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами) указывает практически одинаковую их трудоемкость. Причем такой же вывод можно сделать и для задач большей размерности. Это справедливо, если общее решение дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений может быть получено в аналитической форме. Однако для произвольных типов дифференциальных уравнений возможность получить общие решения в аналитической форме ограничена — это скорее исключение, чем правило. Поэтому перейдем далее к рассмотрению задачи численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений с выделением при этом задач Коши и двухточечных краевых задач.

1.6.

Численное интегрирование систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Рассмотрим задачу Коши для системы дифференциальных уравнений л-го порядка в нормальной форме

\%= fk«,Xi,.,Xn) 0-20) at

с начальными условиями

хк(0) = х°к, * = 1,...,л. (L21>

Для численного интегрирования задачи Коши (1.20) и (1.21) при условии существования и единственности решения (см. разд. 1.4) известен ряд методов: одношаговые Эйлера и Рунге-Кутта

с модификациями, многошаговые типа Адамса, Димсдейла, Хем-минга и др. Ограничимся наиболее простым из них — методом Эйлера.

Метод заключается в приближенном представлении производных

d*k _ xk(t + At)-Xfrit) It At

и в переходе от системы дифференциальных уравнений (1.20) к системе конечно-разностных уравнений

jc^ (г + Лг) = л:^ (г) + Л (г,jc, (г) jcn(г))Лг, * = 1,...,л (L22)

с начальными условиями (1.21).

Рассматриваемый метод характеризуется накоплением ошибок в процессе вычислений по мере удаления от начальной точки / = 0; его точность повышается при уменьшении конечной величины А/. На практике этот метод можно применять, используя ЭВМ и полагая при этом величину At достаточно малой.

Метод численного интегрирования (прямой прогонки) для двухточечной краевой задачи представляется следующей расчетной схемой.

Примем постановку задачи в виде

-^ = Л('.*і(0 W». * = 1 2п; (1.23)

at

Xj(0) = xjQy у = 1 /і; (1.24)

xl(T) = xl], /=л + 1,...2л. (1-25)

К краевым задачам такого типа в теории оптимального управления сводятся задачи на применение необходимых условий оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина.

Вместо краевой задачи (1.23) (1.25) решаем задачу Коши с заданными начальными условиями (1.24) для п переменных, а последующим п неизвестным начальным значениям переменных присвоим произвольные значения:

jcv(0) = jcvo, s = п + 1,...,2п.

(1.26) 31

Решение задачи Коши (1.23), (1.24) и (1.26) будет зависеть от п произвольных значений (1.26). Если данную зависимость удается выразить аналитически (это возможно, если дифференциальные уравнения (1.23) аналитически разрешимы), то в результате будем иметь систему п алгебраических уравнений:

^/(^ ^/і+1,0»^/і+2,0 ^2п,0) = jcZ1,Z = л + 1 2л. (1-2?)

Если из системы (1.27) удастся определить установленные ранее как произвольные п величин хп + ] 0, хп + 2 0,..., х2п 0, получим решение краевой задачи (1.23) (1.25). Решение алгебраической системы уравнений (1.27) — точное или приближенное — будет отвечать точному или приближенному решению краевой задачи (1.23) (1.25).

В случае численного интегрирования задачи Коши (1.21), (1.22) приближенный характер решения краевой задачи (1.23) — (1.25) будет зависеть от выбора приближенного метода численного интегрирования задачи Коши.

Однако при достаточно сложной структуре системы уравнений (1.20) и большом числе обращений к формуле (1.22) в

процессе численного решения задачи Коши при использовании

ЭВМ получить аналитическую зависимость не представляется

возможным. В данном случае недостающим конечным условиям (1.25) придаются произвольные числовые значения и вместо

точных формул вычисляем величины которые будут

зависеть от произвольных числовых значений хп + j 0, хп + 2 о»---' х2п оВ общем случае считать, что вычисленные значения xfj) будут совпадать с заданными х|7, / = п + 1, п + 2,...,2л, разумеется, нет никаких оснований. Поэтому на следующей итерации численного интегрирования задачи Коши принимаются новые значения хп + , 0, хп + 2о>---, х2по и тддо приемлемого на практике расхождения. Для этого можно, например, использовать оценку

1І/2

2 (*/(П-*п)2

/=л+1

<Є,

где є — заданный показатель точности.

Изложенный метод прямой прогонки трудоемок в вычислении, и его реализация на практике возможна только с использованием ЭВМ. В ТОУ он находит применение во многих приложениях, где требуется решать краевые задачи.

Из применяемых на практике пакетов прикладных программ можно рекомендовать MathCad, MathLab, Mathematica, Марі, Derive, Statistica, программную систему Eurika. Подробнее см. в [3]. Там же имеется дополнительный список литературы.

Вопросы для самопроверки

Объяснить основные понятия теории множеств: конечные, бесконечные, пустые множества, принадлежность элементов множеству, прямое произведение, проекции и сечения множеств.

Сформулировать различие между функцией и функционалом. Какое из них более общее и почему?

Дать определения и показать на примерах смысл математических понятий max, sup, min, inf. Приведите примеры, уточните отношения общности.

Задачи для самостоятельной работы

Найти оптимальный аргументмаксимизирующий функцию / (х, і) по х при всех допустимых значениях параметра /. Построить график функции x*(t):

\<2;

0<х<Г 1

1.1. f(xj) = (t2-)x2+4tx

1.2. f(xj) = (t-)(t-2)xz-2tzx; 0,1 < r < 3; |jc|<-

f(xj) = — + (3-t)x;

f(xj) = t(x-4)x-y

f(xj) = (t-)(t-2t)x

/(*,/) = (r -!)(/ + 2) я:;

0,1<*<4; 0<x<-.

t

\<5; 0<*<|r|. M<5; |*|<3.

0<r<3; |jc|< 1

r2+0,5*

Найти решения задач Коши для уравнений с разделяющимися переменными:

1.7.	УІх2 + dx = t(x + -)dt; х	x(0)	= 0.
1.8.	xt dt + (t + l)dx = 0;	40)	= e.
1.9	dx ^ = rtg*;	*(0)	= 0.
1.10.	dx — = 2r(*-l); dt	40)	= 2.

Найти решения задач Коши для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

, d2x . dx , 2t ,dx^ л

—Т--4 — + 4* = r-6 + ez'; х(0) = (—)0 =0.

dt2 dt dt

d*-x = e'; *(0) = 1;(\%=0.

dt dt

d2*+6dx+9x = 4e-3t-t2; *(0) = 0;(Л)о=2.

dt2 dt dt

2

rf *-3*-+2* = г + 1; 40) = (^)0=0.

dt2 dt dt

1.15. = 2*,-jc2 +sinr; л:, (—) = 1.

dt 2

z = x,+2;c2+cosr + l; jc2( )=0.

dt 1 2 2 2

Л

djc2 dt

1.16. ^_ = 2jc, + *2+r2+l; jc, (0) = 1.

= jc, + 2*2-Г; *2(0) = 0.