3.2. оптимизационная однопродуктовая динамическая макроэкономическая модель

3.2. оптимизационная однопродуктовая динамическая макроэкономическая модель

Экономика содержит в себе объективную необходимость и возможность оптимального развития. Количественный анализ и математическая формулировка экономических законов служат переходной ступенью от их качественной трактовки к разработке моделей оптимального развития. При математической интерпретации экономических законов следует исходить из того, что закон, представляющий причинно-следственную связь производственных отношений, имеет некоторую количественную форму выражения. В качестве материального носителя при этом предполагается рассматривать в основном различные формы общественного продукта.

В исследуемой оптимизационной модели в качестве критерия оптимальности предполагается максимизировать дисконтированную сумму конечного (непроизводственного) потребления в течение срока прогнозирования (планирования) [0; 7]:

т

где C(t) -9(t) У = | Q(t)C(t)dt -> max, (3.11) 0

непроизводственное потребление;

функция дисконтирования, отражающая меру предпочтения потребления в данный момент t относительно потребления того же продукта в последующие моменты.

Принято считать, max 0(/) = 0(0) и — <0.

dt

Итак, если стоит задача оптимального развития экономики, то ее можно сформулировать следующим образом: определить такой вариант выпуска продукции X(t) и такое непроизводственное потребление С(/), которые обеспечат наибольшее интегральное дисконтированное потребление.

Модель примет следующий вид.

Для экономики, распределение продукции которой определено дифференциальным уравнением связи (см. дискретный аналог (3.6))

X (0 = aX(t) л-q — +,lK + С(/), dt

выпуск продукции ограничен производственной функцией F(t, К, L) (подробнее см. в разд. 5.1):

0<Х< F(t, К, L),

а рост производственных фондов ограничен снизу:

K(t) > /:задан. и щ) = х0.

Необходимо найти такой вариант развития, который обеспечивает максимум функционала (3.11).

Итак, рассмотренная однопродуктовая модель учитывает не только динамику развития экономики, но и цель этого развития.

Количественное определение оптимального варианта развития экономики с помощью этой модели связано с использованием аппарата ТОУ (см. главу 5).

3.3.

Нелинейная оптимизационная модель развития многоотраслевой экономики

Дезагрегирование динамической однопродуктовой макроэкономической модели приводит к рассмотрению развития многоотраслевой экономики.

Рассмотрим экономику, представленную п отраслями, каждая из которых идентифицируется отраслевым уравнением воспроизводства основных фондов в предположении, что инвестиции в /-ю отрасль полностью расходуются без учета запаздывания на прирост основных производственных фондов и на амортизационные отчисления:

^ = Г-^К1, / = 1,2,...,*, (312) dt

где /' интенсивность валовых инвестиций;

[xі коэффициент амортизационных отчислений^ Юосновные фонды.

При известном уровне основных производственных фондов в базисном году

К'(0) = 4 (313)

производственные возможности отраслей ограничены производственной функцией отрасли

0< Xі < F' (/, К L'), (3.14)

где Xі — интенсивность валовой продукции; V — трудовые ресурсы.

Межотраслевые связи представлены балансовыми соотношениями

Vі = Х^/ЧС1", * = 1,2 л, <ЗЛ6)

j=

где Vі — интенсивность конечного продукта /-Й отрасли;

ді, — структурные коэффициенты основных производственных J фондов;

О — интенсивность производственного потребления /-Й отрасли.

Для лучшего понимания формул (3.15) и (3.16) читателю рекомендуется повторить основы межотраслевого баланса [9, с. 25-43].

Трудовые ресурсы отраслей ограничены неравенством

£//</?, (3-17)

где L0 — общая оценка трудоспособного населения.

Кроме того, из экономических соображений очевидно, что /' >0, С >0, К' >0. (3.18)

В качестве исходной информации задаются начальные значения основных производственных фондов коэффициенты амортизации отраслей ц', матрица коэффициентов прямых затрат (из межотраслевого баланса) A = (alj(t)), матрица структуры фондов (dlj), суммарные трудовые ресурсы L0, определяемые демографическим прогнозом, производственные функции отраслей Я (/, К, L).

Необходимо найти модель процесса v = (А*(/), У*(0, /*(0> С*(/), А^(0, L*(t))y оптимального в смысле

оо

y(v)= |^(г,С)е"5^->тах (3.19) О

на D — множестве процессов (планов), определяемых условиями (3.12) (3.17).

В формуле (3.19) 5 > 0 — коэффициент дисконтирования (см. формулу (3.11)), функция дисконтирования 9(0 = е-5'; g (Г, С) -вогнутая функция полезности.

Введение нелинейных производственных функций в межотраслевой баланс позволяет учесть возможность взаимного замещения труда и капитала в отраслях и зависимость производительности труда от фондовооруженности (в нелинейных моделях производительность труда считается заданной функцией времени).

Рассмотренная нелинейная оптимизационная модель развития многоотраслевой экономики также является задачей, решаемой в ТОУ.

Итак, было рассмотрено несколько вариантов модели динамического роста с повышающейся степенью сложности. Это не означает, что нет других экономико-математических проблем, допускающих свое решение с помощью аппарата ТОУ. С ними мы еще в полной мере будем встречаться в следующих разделах, а сейчас всего лишь демонстрируем возможности применения ТОУ в экономике.

Вопросы для самопроверки

Что является главным фактором принятия управленческих решений в однопродуктовой динамической макроэкономической модели (ОДММ)?

Какие основные переменные фигурируют в ОДММ?

В чем состоит суть трех вариантов модели В.В. Леонтьева?

Что такое дисконтирование, где и каким образом оно используется?

Что означает матрица прямых затрат в межотраслевом балансе?

Чем различаются модели ТОУ в непрерывном и дискретном времени?

Что означает функция полезности, где она используется и каким свойством обладает?