4.9. альтернативные автокорреляционные структуры

4.9. альтернативные автокорреляционные структуры

4.9.1. Автокорреляция высшего порядка

В макроэкономических моделях временного ряда весьма обычными являются авторегрессионные остатки первого порядка, и учет автокорреляции первого порядка в большинстве случаев устраняет эту проблему. Однако, если, например, мы имеем ежеквартальные или ежемесячные данные, то, возможно, что существует периодический (ежеквартальный или ежемесячный) эффект, вызывающий ошибки через равные периоды, которые будут коррелированны в разных годах. Например, мы можем иметь (в случае ежеквартальных дан 

Переменная cons определяет значения затрат на мороженое, а не значения его фактического потребления.

et = Jl^t-l + 72^-2 + 7з^-з + 74^-4 + vu

(4.62)

которое известно как автокорреляция четвертого порядка. По существу, это прямое обобщение процесса первого порядка, и РОМНК-оценивание проводится по тому же плану. До тех пор, пока объясняющие переменные являются некоррелироваными со всеми остатками, РОМНК-оценки на первом шаге основываются на МНК-оценивании уравнения (4.61) или уравнения (4.62), где остатки заменяются МНК-оцененными остатками et. Вид соответствующего преобразования для вывода РОМНК-оценки вектора параметров /3 будет определяться уравнением (4.61) или (4.62). Заметим, что при выполнении преобразования первые четыре наблюдения будут потеряны.

4.9.2. Остатки скользящего среднего

Как уже обсуждалось, авторегрессионная спецификация остатков, как в соотношениях (4.48), (4.61) или (4.62), подразумевает, что все остатки взаимнокоррелированы, хотя корреляция между остатками, которые разделяются многими тактами времени, будет ничтожно малой. В (экономической) теории в некоторых случаях предполагается разная форма автокорреляции, в которой коррелированы только определенные остатки, в то время как все другие имеют нулевую корреляцию. Форму автокорреляции можно смоделировать так называемым процессом ошибок скользящего среднего. Структуры скользящего среднего часто возникают, когда используемый в выборке такт времени (например, один месяц) меньше, чем интересующий нас интервал определения анализируемой переменной. Рассмотрим проблему оценивания уравнения, объясняющего значение некоторого финансового инструмента, например, 90-дневных векселей казначейства или 3-месячных срочных контрактов на иностранную валюту. Если Вы используете ежемесячные данные, то любое возмущение, происходящее в месяце £, повлияло бы на значение срока погашении инструментов в месяцах £, £ + 1, и £ + 2, но не повлияло бы на значение более позднего срока погашения инструментов, поскольку последние еще не были бы выпущены. Это предполагает корреляцию между остатками, разделенными одним и двумя месяцами, но нулевую корреляцию между более отдаленными членами ошибок.

Другим примером является объяснение ежегодных изменений цен (инфляции), наблюдаемых каждые 6 месяцев. Предположим, что мы имеем наблюдения относительно приращений розничных цен по сравнению с уровнем на один год назад, 1 января и 1 июля. Предположим, что базисные переменные (например, денежная масса), включенные в вектор объясняющих переменных xt, также наблюдаются раз в полгода. Если «истинная» модель задается в виде

yt = х'ф + vt, t — 1, 2,... , Г (полугодовые периоды), (4.63)

где yt является полугодовым приращением цен, а остаток щ удовлетворяет условиям Гаусса—Маркова, то для приращений на ежегодном уровне справедливо соотношение уі — yt + yt-i или

УІ = (xt + xt-гУ/З + vt + vt_u t = 1, 2,... , Г, (4.64)

или

yt=x*t'/3 + et, * = 1,2,...,Г, (4.65)

где

St = Vt + "t-i и x = Xt + Xt-1.

Если мы предполагаем, что vt имеет дисперсию сг^, то свойства остатка в соотношении (4.65) следующие:

E{et} = E{ut} + E{ut-i} = 0, V{et} = V{vt + vt-i} = 2*l

COV {eU St-l] = COV {vt + Vt-1 + Щ-2} =

COV {SU St-s) = COV {vt + Vt-U Vt-s + Щ-1-а} =0, s = 2, 3, . . . .

Следовательно, ковариационная матрица вектора членов остатков содержит большое число нулей. На диагонали мы имеем 2сг^ (дисперсия), и только ниже и выше диагонали мы имеем а2 (автоковариацию первого порядка), в то время как все другие ковариации равны нулю. Мы называем такой процесс процессом скользящего среднего первого порядка (для остатков Фактически, это ограниченная версия, поскольку коэффициент корреляции между остатками et и et-i заранее установлен равным 0,5. Общий процесс скользящего среднего первого порядка можно специфицировать как

et = ut + aut-i для некоторого параметра а, а < 1*'; см. обсуждение моделей временных рядов в главе 8.

Вообще модели регрессии с остатками скользящего среднего оценить несколько тяжелее, чем с авторегрессионными остатками, поскольку преобразование, порождающее «остатки Гаусса—Маркова» является сложным. Некоторые пакеты программного обеспечения включают доступные процедуры, но если соответствующее программное обеспечение отсутствует, оценивание может быть очень трудным. Возможное решение состоит в применении обычного МНК к модели со стандартными остатками, полученными после соответствующей корректировки исходных остатков, устраняющей наличие в них автокорреляции (любой природы). Обсуждение будет представлено в следующем параграфе. Эмпирический пример, включающий остатки скользящего среднего, приводится в параграфе 4.11.