Методы оценки коэффициентов эконометрической модели с нестандартными ошибками

Методы оценки коэффициентов эконометрической модели с нестандартными ошибками: Сборник задач подготовлен по учебной дисциплине «Эконометрика», Дорохина Елена Юрьевна, 2003 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон В сборнике представлены такие темы, как «Проблемы построения эконометрической модели», «Методы оценки параметров линейных эконометрических моделей», «Линейные модели временных рядов», «Модели финансовой эконометрики» и др.

Методы оценки коэффициентов эконометрической модели с нестандартными ошибками

Подпись: Z^-ZV) -5c/IV Подпись: *2-i/Z*,

-/V *2 V *2

rTx2/(T.Zx*2) -x/Zx*2^

Задание 3.1

Для обобщенной линейной регрессионной модели у,= ао +aix, +st(t=,...,T) имеется Т= 10 пар наблюдений, которые представлены в табл. 3.1.

-i/ZV

0

0

= ct:

-зс/zv

*2

-l/Z*,

-x/Z**' о Л

V

'0

ZV/^-ZV) -x/ZV

r-x/Zv і

,o l/ZV

Таким образом, в частности,

ZV

Требуется.

Определить оценки обобщенного МНК для параметров модели, исходя из того, что имеется «чисто» гетероскедастичная модель с известными дисперсиями ошибки. Они составляют

0,04; если 5,0<х,<15,0;

0,16; если 15,0<х,<25,0;

1,00, если 25,0<х,<40,0.

Оценить параметры модели классическим МНК. Определить ошибку, которая возникает из-за неправильной спецификации модели.

Определить для описанной в п. 1 ситуации ковариационную матрицу оценок параметров, полученных обобщенным МНК.

4. Определить ковариационную матрицу оценок параметров, полученных классическим МНК.

Рассчитаем

Подпись: 1,5161 -0,0876^1. -0,0976 0,0075 у

Решение.

1. Матрица факторов имеет следующий вид:

f 8^

1 10

1 12

1 16

Х =

1 20 1 20 1 24 1 28 1 30 1 36

ковариационная матрица ошибки соответственно • 4,12 53,76 53,76 835,2

Х'СгК-i 30'328 Х" У~{412,072

Таким образом, получим

a -rrO-l^-1rO-1v-(1'5161 -°>0876V 30>328 )-f5'7621l

2. a = (XXyl -Ху

10 204 204 4920

аА-{ЛИ Л) ЛИ У-1 _од976 о, 0075 J' U12,072J _ 1 0,1305 J

_1 ( 82 "J (5,736fl 1762,4J ^0,1208У

Если исходить из классической модели вместо описанной в п. 1 модели с «чистой» гетероскедастичностью, то при оценке получим следующие «ошибки» параметров регрессии:

Аі ж 15,7621 5,7361| = 0,026;

А2 и |0,1305 0,1208| = 0,0097.

«0,04 

3.Cov(a„) = <?(X£IlX)~x =

-0,0976 0,0075 J 1,-0,0039 -0,0003)

4. Cov(a) = Ue{XX)x ■1,5161 -0,0876W 0,0606 -0,0039^1

T-2

(xxy1 =

1 Г4920 -204^

Zy?-T-y2-4(Zxf-T.x2j

10

-[685,4 672,7 0,12082(4920 4164 6)] , „Л.

8 7584 1-204

( 0,1570 -0,0065^1 *V0,0065 0,0003 У

Таким образом, каждая компонента вектора оценок параметров, полученного классическим МНК, обладает большей дисперсией, чем соответствующая компонента вектора оценок параметров, полученного обобщенным МНК. Правда, для параметра щ различие между дисперсиями очень мало.

Задание 3.2

Имеется «чисто» гетероскедастичная модель линейной од-нофакторной регрессии. Дисперсии ошибок є, (t = ,...,Т) обозна2

ЧИМ Gt .

Требуется.

1. Показать, что оценки обобщенного МНК для параметров регрессии «о и а рассчитываются следующим образом:

Zl/a?Zto)/g,2 -ZVoflVo-,2 ,

аА ; ^2 '

Zl/a2Ex2/a2-(Zx,/a2)

аА0 ~ „ . о ~аЛ "

Кроме того, в случае однофакторной регрессии

хт

1 ... 1^

Х =

aA={xaxxyl ха] =

1/ог Л

X] /C7j ^Xj* / Су

хг /аг

1/aj

l/aT xj / а] ... Xj /ст

Подпись: 'Zl/a2Определить ковариационную матрицу вектора оценок, полученного обобщенным МНК.

Показать, что в частном случае «чистой» гомоскедастично-сти вектор оценок, полученный обобщенным МНК, совпадает с вектором оценок, полученным классическим МНК.

Решение.

1. В случае чистой гетероскедастичности при о2 = 1 получим

О

Cov(f) = Q:

of

2^

2 >

ZV<

z*^/<*2

l

Zl/a2Zx2/a2-(Zx,/a2)

2U v і 2Л

Z*fK -ZV°,

-Zx,/a2 Zl/^2 1

Zl/a2Zx2/a2-(Zx,/a2) l.xf/af'Zy,/aj Z*/ /a2Z^ у, /a2

Zi/°?IW<7?-Z*, ^2Z>v Ч2

соответственно

aF2

0

0

-2

CTj;

Отсюда, как и утверждалось, следует

„ Zi/g?Ito)/g?-ZVg?lW

аА =

Zl/a2Zx2/a2-(Zx,/a2)

Z*2 /g2£y< i*t ~Z*t /g2Z*^/g2 _

Л0 " 'Л ~

+

Zl/a2Zxf2/a2-(Zx,/a2)

El/a2 El/a2I*2/a2-(2>,/<*2)

2 2

+

(z*2/°2) ZW-(lW) iW

zi/^f

ZW

zi/<

zv<^

Zl/a2Z*2/a2-(Z^/a?) Zl/a2Zx2/a2-(Zx,/a2)

zi/°.

ZV^

Zl/cr2

Covfo^Cr/Z'-X)-1

2 I v-.. ,_2 ^, /_2

2

Zl/a2Zx2/a2-(Zx,/a2)Z №*'0|

Ъ2 = .

3. В случае «чистой» гомоскедастичности выполняется следующее соотношение:

от ое .

Таким образом,

Zl/a2Z to)/cr2 ~Z*, /g,2Z W

аЛ "2 =

Zl/a2Z*2/a2-(Zx,/a2)

І.хіу,-тху_ . _ZV<?2 Л EW  

Итак, при выполнении свойства гомоскедастичности вектор оценок параметров, полученный обобщенным МНК, совпадает с вектором, полученным классическим МНК.

Задание 3.3

Имеется «чисто» гетероскедастичная модель линейной од-нофакторной регрессии

y, = a0 + alxl + et(t=l,...,T),

ДИСПерСИЯ Ошибки КОТОРОЙ <Ущ =

Требуется.

Определить для этой модели ковариационную матрицу ошибок, а также матрицу Г, с помощью которой модель может быть преобразована в классическую.

Перейти к преобразованной модели и определить на ее основе оценки параметров регрессии «о и а,.

3. Определить оценку параметра о2 для данной модели.

Решение.

1. При заданном соотношении ковариационную матрицу ошибки можно записать следующим образом:

Cov(e) = a2Q = a2 х

Матрица Т только тогда может преобразовывать обобщенную модель в классическую, когда ТПГ = Е. Очевидно, что это условие выполняется для матрицы

О Л

Т =

{ 0 1/хТу 2. Модель, преобразованная с помощью матрицы Т,

Задание 3.4

Имеется линейное однофакторное уравнение регрессии

y, = a0 + a1x, + st(t=l,...,T),

а также 10 пар наблюдений переменных (х,, у,), которые представлены в табл. 3.2.

уА=ХАа + еА,

(3.1)

а ЪхмУм-т-хаУа b^-jr£i/*£V*

аА1 ——— — = ,

TxAt-JxA £1/х,-1(£1/х,)2

аА0 =УАааха = ^Z^-у-Ь .

eAt

3. Определим остатки преобразованного уравнения как Уі ало

-аАХ (/ = 1,...,Г).

1

аа

Для классической регрессионной модели оценкой параметра о2 является следующая оценка:

Т-2'

Уі аА0

xt xt

Требуется.

Определить линию регрессии с помощью гетероскедастич-ной модели из задания 3.3.

Определить линию регрессии на основе классической модели.

Изобразить обе линии регрессии и фактические данные на диаграмме рассеяния и сравнить их друг с другом.

Решение.

IV*?-^rI1/**IV**

1. аАХ = І- = .

II/*,-^(11/*)2

3,2593—-2,1761-12,2276

= ^—j «3,4310;

0,6480—-4,7356 10

^0—І^-^= --12,2276-^І^-«0,4761. Т xt Т 10 10-2,1762

В целом, линия регрессии, построенная обобщенным МНК для гетероскедастичной модели выглядит следующим образом:

yh =3,4310 +0,4761л:.

2. Если оценивать классическую модель с помощью классического МНК, то получим следующее:

а _ І.х,У, -Тху = 425,00-10-6,19-6,32 „Qms °1 Ъх}~Тх2 469,25-10-6,192

а0 = У-^l* «3,8903.

Итак, имеем следующее уравнение регрессии:

yh =3,4310 + 0,476ІХ; у = 3,8903+0,3925*

у = 3,8903 + 0,3925*.

л

для которого выполняется условие <7щ = х} (t = ,...,Т). Имеются следующие фактические данные:

xt

1

2

3

4

5

У'

1

2

2

3

4

Требуется.

Определить вектор оценок параметров регрессии а с помощью классического МНК.

Определить вектор оценок параметров регрессии аА с помощью обобщенного МНК.

Определить потерю эффективности, которая возникает из-за применения классического МНК вместо обобщенного.

Определить оценку ковариационной матрицы вектора оценок Cov(a) и сравнить ее с Cov(a).

Решение.

1.

_Txty,-Txy = 43-5-3-2,4 -0?-2>2-7х2 55-5-32

Оба уравнения отличаются незначительно. «Ошибка», возникающая из-за того, что для целей прогнозирования применяется уравнение, оцененное классическим МНК, проявится только в будущих периодах.

«0 = у-аххп 2,40,7 -3 = 0,3.

2. Рассматриваемая здесь модель является частным случаем модели из задачи 3.3 при о2 = 1. Согласно решению задачи 3.3, п.1 матрица преобразований будет выглядеть следующим образом:

Задание 3.5

Рассмотрим частный случай гетероскедастичной модели од-нофакторной регрессии

у, = «о + ах х, + є, (t = 1,...,Т),

1хх 0

0 Ї

lxTj

Используя выражения из задачи 3.3 п.2, получим

2 1

аа

Zi/^-^(Zi/^)2

Ковариационная матрица вектора оценок обобщенного МНК в общем случае:

Со(аА) = (X (Cov(£)4)Ar)4.

В данном случае:

і

2,0697---2,2833-4,2167

: 5

1,4636-і2,283322

«0,3424;

Cov(f)"1 = Q"1 =

1/4

1/9

1/16

1/25

аА0 = Z— — = • 4,2167 ■ 0,3424 • 2,2833 и 0,6870 . Т xt Т 5 5

Для ковариационной матрицы МНК-оценок в общем случае выполняется следующее:

Cov(a) = <?{ХХУ1 ХПХ{ХХ)

'г2

П = (ГТ)-1

Х =

Рассчитаем

55 225 225 979

5 15 15 55

В нашем случае о2 = 1, отсюда следует, что

; (хху1

Х'П Х =

-1

J_ Г 55 -15 50'1-15 5

В целом получим следующую ковариационную матрицу вектора а:

с , . J_(55 -15Y 55 225V55 -5Л( 6,6 -2,52л 5021~15 5 Л225 979J^-15 5 J ^-2,52 1,24,

Определим ковариационную матрицу оценок параметров.

п , s (2,3159 -1,0850^1 С^^)-!-1,0850 0,6955

3. Потеря эффективности при использовании классического МНК вместо обобщенного составит

л п t п t л ( 3>7841 -1.4350' A = Cov(fl)-Cov(fl,)«(_1)4350 0;5445

°2е =

4. Оценим сначала

1

Т-2

Ъу}-ТУ2-^^х2-1х2)

= i[34 5 • 2,42 0,72 (55 5• З2 )] = 0,1.

Теперь определим

2,v-vW n, ( 55/50 -15/50"! ( 0,11 -0,03"

Cov(a) = a2(XX) =0,1_15/50 5/50 1 = 1 0)03 ш

Следует обратить внимание на то, что эта оценка не только содержит случайную ошибку выборки, но и основывается на неправильно специфицированной модели. Отдельные оценки по абсолютной величине существенно ниже, чем в истинной матрице Cov(a).

Задание 3.6

2. Матрица факторов У и вектор целевой переменной с выглядят следующим образом:

Подпись: 1Подпись: 300 19100Подпись: 1
160
Рассмотрим «чисто» гетероскедастичную однофакторную регрессионную модель

с,= «о + «і У, + et(t = 1,...,Т), где с — потребление домохозяйства определенной структуры, у — доход этого домохозяйства. Ошибки попарно не коррелиро-ваны, дисперсия ошибки при доходе от 50 до 100 ед. в 2 раза больше, чем при доходе до 50 ед. Имеется следующая выборка объемом 9 наблюдений:

У'

30

35

35

45

50

60

70

90

160

с,

30

30

35

35

40

50

70

80

120

Требуется.

Определить ковариационную матрицу ошибки для этой модели.

Оценить параметры уравнения с помощью обобщенного МНК.

Оценить параметры уравнения при измененном условии: дисперсии ошибки должны быть пропорциональны квадрату дохода. Сравнить результат с соответствующим результатом в п. 2.

Решение.

1. Если обозначить через о2 дисперсию ошибки при доходе до 50 ед., то

Cov(aA) = o2n = o2

f 0000000 0^ 010000000 001000000 000100000 000010000 000002000 000000200 000000020 1^0 00000004

120

0,25

0

Г£Г1с =

30

Таким образом,

_Гб,75 345 > 1 ( 300 V ЯЛ-^345 22575J l910oJ

1 (22575 -345") ( 300

6,75-22575-3452 t-345 6,75Jl9100j

1 Г22575 -345^ ( 300 V/5,4862^

33356,25 -345 6,75 J' ^19100j ~ ^0,7622j

В целом имеем следующую линию регрессии: с = 5,4862 + 0,7622>>.

3-«4i= ~, :— =

11/*-^т(11/*)2

0,1624---0,1810-7,9071

= ^—: «5,2781;

0,0043---0,18102 9

^0=1IfL-^ = 1-7,9071-^^-0,1810«0,7724. Т yt Т 9 9

Линия регрессии при измененных условиях:

с'= 5,2781+ 0,7724>>. Линии регрессии из п. 1 и п.З отличаются незначительно.

Задание 3.7

Объем потребления домохозяйств объясняется с помощью однородного уравнения:

yJt = aiXjtm + а2х/] + ejt (ґ = 1,T;j = 1,.., *,), (3.2)

где yjt— потребление;

x,r(1) — заработная плата;

(2)

Xjt — дивиденды домохозяйстваj в период t. Для ошибки этого уравнения выполняются предпосылки классической регрессионной модели. Параметры регрессии а и а2 должны оцениваться на основе эмпирических данных, но для каждого периода нет данных об индивидуальном потреблении yJt, а есть только совокупное потребление всех домохозяйств, т.е.

к,

Z у it ■

7=1

Требуется.

Вывести модифицированное уравнение, которое позволяет оценить вектор параметров модели а.

Показать, что это уравнение является моделью с чистой ге-тероскедастичностью, в которой ковариационная матрица ошибки известна с точностью до о2.

3. Определить оценки параметров а и а2.

Решение.

1. Просуммируем уравнения (3.2) по всем j = 1,..., kt и разделим на к,. Таким образом, получим уравнение

у1=а]х^) + а2х^) + г( (t = l,...,T), (3.3)

где yt=—Y.yjt

К j

Xf ^ Zxy^

Kt j

1

4 j

Это уравнение позволяет оценить параметры а и а2, так как средние величины могут быть определены из агрегированных данных.

2. Уравнение (3.3) является «чисто» гетероскедастичным, если COV(£>, £V) = 0 для t, т= 1,...,Ги т.

,_ _1_ kt

Сначала покажем, что, поскольку М[^г] = 0, для всех j выполняется

Zsi=-ZM[sy,] = 0.

Таким образом, при г

cov(e,, гх) = M[st • єт ] М[є, ] • М[єт ] = М[є, • є J=

1 К К = Г-ГЕЕМ[єуГє/т] = 0, к, -кт j=u=i

так как M[£Jt • £[г] = О при t *т.

Если о2 является дисперсией ошибки исходной классической модели, то для дисперсии ошибки уравнения (4.3) выполняется следующее:

С учетом того, что

ч

(2)

рассчитаем

х'аг V =

VX1

3cW х(2)

D(st) = D

Подпись: 1 к, Kt J=lЛ I . 2 а2

Следовательно, ковариационная матрица ошибки модифицированного уравнения

'1/к, 0 >

О

т;

Cov(e) = ozQ =

о2.

1/к

т.е. она известна до множителя

3. При оценке параметров регрессии а и аг исходят из уравнения (3.3). Так как согласно п. 2 это уравнение является гетеро-скедастичным, то следует применять обобщенный МНК.

Матрица Af содержит средние значения обеих объясняющих переменных для каждого из Г периодов.

WlO =(2)"

(1)

Х.(2)

1 ji

Д2)

=а> =<2)

Z^f ^ j HiKxt ^xt

^xf2) ... ^r4z

Обозначим

^ = Е^(^)2Е^(зс/2))2-(Е^(2))2.

С учетом этого

^(J'Q_1Jr1J'n_1J =

хф(2)) Х*л(1Ы -Е*^2)1МРй

Подпись: (1) 7(2)хт

Вектор целевой переменной содержит среднее потребление для каждого из Г периодов.

У =

Ут;

Задание 3.8

Объем потребления домохозяйств объясняется с помощью трехфакторного уравнения:

yjt = ах + а2х, + a3Wj, + a^jt + ejt {t = 0,T;j = 1,к), (3.4)

где y]t потребление домохозяйства j в период t; xt — индекс цен в период Ґ,

Wjt — число членов и Zjt — доход домохозяйства j в период t.

87

Для ошибки этого уравнения выполняются предпосылки классической регрессионной модели. Параметры регрессии аь аг, «з и а4 должны оцениваться на основе эмпирических данных, но отдельные данные известны только для 0-го периода, а для всех последующих периодов, к сожалению, известны только средние объемы потребления, среднее число членов домохо-зяйств и средние доходы всех домохозяйств, т.е.

1 к j к і к

j= K j= K j=

Требуется.

Вывести модифицированное уравнение, которое позволяет оценить вектор параметров модели а на основе всех имеющихся данных.

Построить ковариационную матрицу ошибки модифицированного уравнения.

3. Определить вектор оценок параметров а.

Решение.

1. Для 0-го периода строится к уравнений

yjo = «і + «2*0 + cciWjo + atZjo + єр (/' = 1 к),

а для периодов t = 1,..., Г— Г уравнений

yt = aj + a2xt + а^Ц + a4z, + ~zt (t = l,...,T),

1 k

где Є, =-£6,.

( ЛО

х0

wl0

z10

; -^о -

і

х0

WjQ

wj0/

Если определить как

f

то можно записать модифицированное уравнение в матричной

форме

88

(т, л Уо

■а +

(с Л

[у)

Оно охватывает к + Т уравнений, в него входят все имеющиеся данные.

= тм[8уо>£//]= о;

1 к

к i=i

2. Ковариационная матрица ошибки определяется в три шага: а) сначала рассчитываем ковариацию двух возмущающих переменных, одна из которых соответствует j-му из первых к уравнений, вторая t-му из последних Г уравнений модифицированной системы. Так как для всех ошибок исходного уравнения выполняются предпосылки классической регрессионной модели, то для всех j = 1,..., к, t = 1,..., Г согласно решению задачи 3.7 п.2 имеем:

СОУ(Єу0, S, ) = М [єу0, Е, ] = М

б) поскольку мы исходим из классической модели, то ковариационная матрица ошибок єо равна со(єо) = с?-Е.

Таким образом, все ошибки єр имеют одинаковую дисперсию;

1

2>J

в) исходя из того, что D(£j,) = о2 для t= 1,Г, получим

D(et) = D

^ J

соответственно ковариационная матрица ошибок є равна

2

Cov(£) = y'E-С учетом того, что M[et ] = М[єт ] = 0, имеем для t= т= 1,..., Т,

к кх _

cov(^,£c) = M[e/ •ёс] = -т5: £МІ -е/т1 = 0.

В целом, для модифицированного уравнения получаем следующую ковариационную матрицу ошибок:

О Ї

1/к

О

ОЮ-1--(Г о^Н

1/к

Рассматриваемое здесь модифицированное уравнение является простейшим случаем чистой гетероскедастичности. Имеется две различные дисперсии ошибки.

Применим для оценки параметров модифицированного уравнения обобщенный МНК.

О

Задание 3.9

Для линейного однофакторного уравнения регрессии у,= ао + ах х, + £,{t= 1,..., 7)

имеется Т = 20 пар наблюдений целевой переменной у и экзогенной переменнойх, которые представлены в табл. 3.3.

Будем исходить из нормального распределения ошибки и отсутствия автокорреляции. Имеется подозрение на гетероскеда-стичность.

О

где ЕкпЕт — единичные матрицы размерностью соответственно кхкпТхТ.

3. Вектор оценок параметров определяется следующим образом:

& 0W

Ут.

№ Хт) о

аА = -1

•к Щ1 4

і

{хЬЕк кХ'тЕт)

У_0

Ут

Х'йЕк кХтЕт)-= [Х'0Х0 + кХтХт ]~1-[х^у0+кХ'ту] .

Требуется.

Проанализировать следующий способ проверки на гетеро-скедастичность: с помощью критерия Фишера проверяется нулевая гипотеза о гомоскедастичности для Т = 5, для Т2 = 10 и для Г3 = 15 наблюдений при уровне значимости а 0,05, и если хотя бы один из этих тестов отклонит нулевую гипотезу, то имеется гетероскедастичность.

Для уровня значимости а = 0,05 проверить гипотезу, что дисперсии ошибки для первых и последних 10 пар наблюдений различны.

Решение.

1. В качестве нулевой гипотезы выбираем гомоскедастич-ность. Aj (/' = 1,2,3) — события, когда j-й частичный тест ведет к отклонению нулевой гипотезы. Тогда уровень а значимости предлагаемой процедуры согласно определению

a=P(AivA2vA3 ІЯ0).

Для него можно дать только оценку

P(Aj | Н0) = 0,05< а< 3-0,05 = 0,15.

Таким образом, в основе предлагаемого способа тестирования лежит неопределенный уровень значимости между 0,05 и 0,15.

2. Обозначим I и II соответственно первую и вторую части, содержащие по 10 наблюдений.

^2 (2>tyt-Txy)2

т

I

t=l

Для остатков однофакторного уравнения регрессии выполняется следующее:

іе2=іУ;2-а2Ех;2 = і:У?-т.у

Zxt2-T-x2

Таким образом, сумма квадратов остатков первой части данных равна

( л2 Zxtyt -Tjxjyj

V I

-2369,12-10-l4,l2-(2451'64-10-15'1-14'1)3

Т.<?=Т.У?-Т1-у} I I

і 134,04

2701,32-10 15,1

Сумма квадратов остатков второй части соответственно

( л1 Zxtyt -Tjjxjjyjj

КII

J _

2>2= 2>2-Tjj-yjj-II її

92.

= 1621,66-10.Ц92-(1913'72-10'138Ы1'9)2й8

2279,32-10-13,82

134,04 8,92

Расчетное значение критерия Фишера

f* 15,03.

2 Ъ<

°/Е _ /

II

Это значение сравнивается с 97,5\%-м квантилем распределения Фишера с 8 и 8 степенями свободы. Д0,975;8;8) = 4,43. Так как 15,03 > 4,43 нулевая гипотеза о гомоскедастичности отклоняется при уровне значимости а = 0,05.

Задание ЗЛО

Имеется обобщенная регрессионная модель

c,= ao + aiy,+ e,(t=l,...,T),

где с — потребление домохозяйства определенной структуры, у — доход этого домохозяйства. Имеется выборка из задачи 3.6. Рассматриваемые домохозяйства разбиваются на две группы: с доходом до 50 ед. и с доходом от 50 до 100 ед.

Требуется.

С учетом предположения о нормальном распределении ошибки проверить при уровне значимости а = 0,05 нулевую гипотезу, что дисперсия ошибки во второй группе домохозяйств в два раза больше, чем в первой.

Решение.

Если обозначить через сг/ и оїї дисперсии ошибок в соответствующих группах домохозяйств, то проверяется следующая гипотеза: Я0: о#2 = 2сгД

Сначала разобьем всю имеющуюся выборку на группы с доходами до 50 ед. и от 50 до 100 ед. Домохозяйства, доходы которых не попадают в эти пределы, вообще не учитываются.

Группа I Группа II

Уі с, у, с,

30 30 60 50

35 30 70 70

35 35 90 80

45 35 50 40

Теперь оцениваем уравнение для каждой из групп и определяем соответствующие суммы квадратов остатков.

Сумма квадратов остатков для первой группы —

( л2

2>2 = Тс}-Tj-с} ^ =

= 5850-5-342-(675°-5-39-3?4>2,16,67. 7875-5-392

Сумма квадратов остатков для второй группы ( 42

-ТНУТІЇ

= 13800-3• 66,672 (15Ю0-3-73,33.66,67)2 ^ 9

„2

16600-3-73, ЗЗ2 Расчетное значение критерия Фишера

= 2/ = 2

2>/

-«0,17.

Ее,2 2 II

Это значение сравнивается с 97,5\%-м квантилем распределения Фишера с 3-мя и 1-й степенями свободы и 2,5\%-м квантилем распределения Фишера с 3-мя и 1-й степенями свободы. Табличные значения/0,975;3;1) = 4,43 и Д0,025;3;1) = — * 0,05 . Так

17,4

как расчетное значение лежит между этими двумя квантилями, то нулевая гипотеза не отклоняется при уровне значимости а = 0,05.

«о, сс,..., ап предлагается провести следующее преобразование: из t-го уравнения вычесть М-е уравнение, умноженное на р, t = 1,...,Г, т.е. осуществить переход к обобщенным первым разностям.

Требуется.

Определить матрицу преобразований Тр, с помощью которой осуществляется переход к модифицированному уравнению.

Определить «оптимальные» оценки параметров модифицированного уравнения и показать, как от них можно перейти к оценкам параметров исходного уравнения.

Определить «оптимальные» оценки параметров исходного уравнения и сравнить их с оценками из п. 3.

Решение.

1. Модифицированное уравнение выглядит следующим образом:

А^Уг = «о(1 -р) + аіАрХи + ... + (XnApXnt + \%,(t = 2,Т),

где АрУ, = у,-ру,-и AfXit = хц — рх/^іу,

\%,= Є,-рЄ,^.

Матрица Тр размерностью (Г-1 х Г-1) имеет вид

^-р 1 0 ... 0Л 0 -р 1 ... 0

о

Т =

0 -р 1

Соответственно

Задание 3.11

Имеется линейное уравнение множественной регрессии у,= ао+ Щ хи + ... + а„хп,+ e,(t= 1,...,7), для ошибок которого выполняются предпосылки авторегрессии первого порядка, параметр р известен. Для оценивания параметров 94

ґ У2-Р Л 1 (АРУ2Л

АрУТ

V

Ут-Р Утл) (

е2-Е л

= &оУ

Подпись: Кроме того, выполняется

хп1

О

трхО

... О -р 1 х12-р *ц .

Подпись: -р 1 О О -р 11 хп

Ґ11 ххт ... хпТ

1-р х1Г-р xXJ_x Ґ1-Р Арх12 хп2 ~ Р хп

хпТ ~ Р хп,ТДрхл2 Л

■АрХ.

1-р Арх1Г ... Дрх„г

Ару и АрХ — соответственно вектор целевой переменной и матрица факторов уравнения, преобразованного с помощью матрицы Тр.

2. По условию задачи для ошибок исходного уравнения выполняются предпосылки авторегрессии первого порядка, следовательно, имеется ошибка є,'

є,' = є,-рє(-,

которая гомоскедастична и некоррелирована. Но ошибка модифицированного уравнения совпадает с ошибкой eh поэтому она также гомоскедастична и некоррелирована.

Поскольку в модифицированном уравнении выполняются предпосылки классической регрессионной модели, то МНК дает для этого уравнения «оптимальные» оценки:

ар= (АрХ ■ АрХ)-] ■ АрХ ■ Ару.

Если ат — оценка параметра оь-(1-/?), то отсюда при известном р оценка параметра ccq исходного уравнения —

1-р

ар0

ао(р):

Остальные компоненты вектора ар могут быть в неизменном виде использованы в качестве оценок параметров а,..., а„ исходного уравнения.

3. Исходное уравнение удовлетворяет предпосылкам обобщенной регрессионной модели. «Оптимальные» оценки параметров ао, аи—, сса этого уравнения получают обобщенным МНК.

Матрица преобразований Г размерностью Тх Т в этом случае

/ / г Л

Г =

yjl-p1 о о ... о -р 1 о ... о

О -р 1 .

о

.. о

1 -р;

о

Вектор оценок параметров регрессии

*ll"V^P2 х12 ~ Р х12

аА = [(ТХ)--(ТХ)Т1-(ТХ)'-Т-У. Матрица факторов

4

ТХ

1-р

1-р Х1Г-р Х,г_!

xnlV!-p2 хп2 ~~ Р хп2

хпТ ~ Р хп,Тхп2~Р хп хпТ Р хп,Т-1

Согласно п.1

ТрХ =

1-Р *12~Р ХП 1-р х1Г-р хіг_і

Очевидно, что матрица ТХ включает в себя первую строку, которая отсутствует у матрицы ТрХ. В остальном обе матрицы совпадают. Сравнение векторов целевой переменной

Ту

Уі^Р1 У2 -РУ

jT -РУТ-1

( У2 ~РУ Л

Ут РУТ-1

дает аналогичный результат.

С учетом этого небольшого отличия матриц факторов и векторов целевой переменной можно предположить, что оценки не слишком отличаются от ар и аА. Практика показывает, что это предположение, как правило, выполняется.

3. Определить ошибки, которые возникают при использовании классического МНК и оценок из п. 2 по сравнению с «оптимальными» оценками из п. 1.

Решение.

1 р р Р 1 Р Р2 Р 1

рГ_2 Т-1

1. Ковариационная матрица ошибки определяется следующим образом:

2

Г-3 Г-2 Г-1 ^

Р Р Р

... рГ"3 /-2

РГ-3

СоЧ^) = о?-Л = о2

Р Р2

Р Р 1 Р Р 1

Подпись: 10

Задание 3.12

Для линейного однофакторного уравнения регрессии

yt= ао + а, х, + £t(t= 1,...,7)

имеется Т = 12 пар наблюдений целевой переменной у и экзогенной переменной х, которые представлены в табл. 3.4.

1 -0,4

-0,4 1

-о>

-0,410 -0,410

V

Кроме этого,

-Р (1+Р2)

о

,-i

-0,4Z -0,4

-0,4 -0,4:

1 -0,4 -0,4 1

о о

0^

о о

Для ошибки уравнения є, выполняются предпосылки авторегрессии первого порядка с известными значениями р=-0,4 и о;2 = 1.

Требуется.

Оценить параметры уравнения ао и а, с помощью обобщенного МНК.

Оценить параметры уравнения ао и а с помощью модифицированного уравнения из задачи 3.11.

98

i-pz

Подпись: Рассчитаем Подпись: 1 5,0 144,0 10,0

1

XQ~lX =

5,0 ... 10J 0,84

1 0,4 ... 0^1

0

0,4 1

26,667 144,0 144,0 916,8152

и, следовательно,

(xn-lxvl= °'24696 -°>038791 ' 1 -0,03879 0,00718 )'

-0,4

Х--

Г 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1.4 4,50^

2,80

7,52

11,72

7,40

8,02

11,60

4,60

3,90

8,50

12,84

1 0,4

1

5,0 ... 10J 0,84

0

Подпись: Теперь определим

1 ... 1

0

0,4 1)

175,7 1083,1081

Таким образом, с использованием обобщенного МНК получаем следующий вектор оценок параметров:

а -(УСГ1УЛ-1 УСТ1 „-Ґ0'24696 -0.03879V 175,7 aA-(XU X) -Xil 7-^_0)03879 о,00718 J1083,1081

_ (, 37832 Л *1 0,96490

2. Из каждого f-го уравнения вычтем (t 1)-е уравнение, умноженное на (-0,4). Получим 11 уравнений с целевыми переменными Д-одУг = Уі + 0,4-уьі и экзогенными переменными А-0,4 Хи = xit + 0,4-хі^ (г = ,...,п); ошибки этого уравнения гомо-скедастичны и некоррелированны.

Из имеющихся данных рассчитаем матрицу факторов ДодХ и вектор целевой переменной Д_о>4_у модифицированного уравнения

Л-0,4^

6,80 5,02 9,44 11.88 8,94 8,70 13,70 6,54 5,34 10,70 15,36

Определим теперь вектор оценок параметров

яр = (Д-о,4*' ■ Л-0,4*)_1 • А-0,4*' • А-о,47 =

_f 21,56 116,76 V1 ( 143,388 Wl,4446^1 ~ ^116,76 749,1248J 888,8108j ^0,9613j

Отсюда оценка параметра «о будет равна

1 4446

o0(-0.4) = il^«1.0319,

а параметра а ар «0,9613.

3. На основе классического МНК рассчитаем

я _Т.ЪУ,-Тху _ 537,83-12-5,5-6,675 Л07Л07.

а ї т~ т— * 0,97697;

£х/-7х2 463,08-12-5,52

oq = у ахх * 6,675 0,97697 » 1,30167.

«Ошибки» оценок параметров, полученных классическим МНК, составят соответственно

/о = |а0 аА0 * |1,30167 1,37827| * 0,07660;

/і = |а, -aAi * |0,37697 0,96486| « 0,01211.

При оценивании с использованием уравнения в обобщенных первых разностях «ошибки» оценок параметров —

/о = а0(-0,4) аА0 * |1,03582 1,37827| « 0,34246;

fx = |ai(-0,4) аА\ * 10,96486 0,96486| * 0,00437.

Таким образом, «ошибки», которые получены при оценке параметров классическим МНК, очень малы.

Оценка параметра ct, полученная на основе уравнения в обобщенных первых разностях, практически не отличается от «оптимальной» оценки обобщенного МНК, но при оценивании параметра ао получаем сравнительно большую «ошибку».

Задание 3.13

Сборник задач подготовлен по учебной дисциплине «Эконометрика»

Сборник задач подготовлен по учебной дисциплине «Эконометрика»

Обсуждение Сборник задач подготовлен по учебной дисциплине «Эконометрика»

Комментарии, рецензии и отзывы

Методы оценки коэффициентов эконометрической модели с нестандартными ошибками: Сборник задач подготовлен по учебной дисциплине «Эконометрика», Дорохина Елена Юрьевна, 2003 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон В сборнике представлены такие темы, как «Проблемы построения эконометрической модели», «Методы оценки параметров линейных эконометрических моделей», «Линейные модели временных рядов», «Модели финансовой эконометрики» и др.