Глава 9 эконометрические модели с переменной структурой
Глава 9 эконометрические модели с переменной структурой
Определить ожидаемые оценки параметров для двух уравнений без фиктивной переменной.
Решение.
1.
а) Введем фиктивную переменную
(0, ґ = 1,...,12 (с 1980 по 1991 г.);
Задание 9.1
Компания А, крупный производитель спортивных автомобилей, заинтересована оценить следующую производственную функцию за период 1980-1999 гг.:
yt = «о + ах ■ х, + є,, (9.1)
где уі — логарифм среднего выпуска автомобилей в неделю (в тыс. долл.);
xt — логарифм среднего количества рабочих часов в неделю. В 1992 г. компания произвела инвестиции в новую производственную технологию. Есть предположение, что это приведет к изменению свободного члена в уравнении (9.1).
Требуется.
1. Модифицировать модель (9.1)
а) с помощью введения фиктивной переменной;
б) с помощью представления ее в виде двух уравнений без
фиктивной переменной.
1, t = 13,...20 (с 1992 по 1999 г.).
Уравнение с фиктивной переменной будет выглядеть следующим образом:
Уі = ао + /?• z, + ах ■ xt + є,; б) с помощью двух уравнений модель запишется как у, = «01 + ах ■ хх + £,; t = 1,12; У, = «02 + «і • х, + ес, t = 13,20.
■-{ХХУХ Х'уЪ
Для двух уравнений без фиктивной переменной оценки параметров будут аох = 2,5 и а02 = 2,75
Задание 9.2
Для объяснения переменной «заработная плата» была предложена следующая модель:
yt = «о + ах ■ хх, + а2 ■ x2t + еь (9.2)
где у, — логарифм совокупной заработной платы; хх, — количество лет обучения; хц — опыт работы; £г(0, о2).
Выборка составлена таким образом, что номера от 1 до 100 соответствуют женщинам, а со 101 по 300 мужчинам.
Требуется.
Предложить два способа представления нулевой гипотезы, что заработная плата мужчины для данного уровня образования и опыта работы выше, чем у женщины с такими же характеристиками.
Проверить гипотезу, что коэффициенты уравнений типа (9.2), построенных отдельно для подвыборок мужчин и женщин, совпадают. Известно, что в модели для женщин сумма квадратов остатков равна 0,13, а для мужчин — 0,33. Оценка МНК по всей выборке дает сумму квадратов остатков 0,6.
Предложить способ тестирования гипотезы, что заработная плата зависит от размера фирмы, причем от размеров фирмы линейно зависит коэффициент аи:
Показать эквивалентность МНК-оценок коэффициентов <Х ' и а2 в модели
у, = axDt + аг • (1 А) + в„
[1; для 1,...,^; где АН
(0; для ТМ,...,Т
и в модели, построенной отдельно для двух подвыборок ґ=1,...,Г1;г=Г1 + 1,...,Г.
Решение.
1. Первый способ проверить названную гипотезу — ввести фиктивную переменную «пол»
ГО, t = 1,...,100 (женщины); Z* ~ (1, t = 101,...,300 (мужчины);
и проверить с помощью критерия Стьюдента статистическую значимость коэффициента при этой переменной. Таким образом, нулевая гипотеза будетН0: /3=0. 176
Второй способ тестирования оценить отдельно два уравнения для женщин и для мужчин:
у, = «о' + ах' ■ хи + а2 • x2t + sb;t=,100,
у, = ао" + а{' ■ хи + а2" ■ x2t + єи; t = 101,300,
Проводится тестирование нулевой гипотезы Н0: а'= а", <т'= сг" (тест Чоу).
2. Проведем тест Чоу для указанных данных.
Обозначим ESSur -сумму квадратов остатков для регрессии без ограничений.
ESSUR = ESSx + ESS2, где ESSi и ESS2 — суммы квадратов остатков уравнений, построенных отдельно для женщин и для мужчин.
Обозначим ESSr сумму квадратов остатков для регрессии с ограничением, которая записывается одним уравнением
yt = «о + ах ■ хи + «2 • x2t + s,;t=l,300,
ESSUR = 0,13 + 0,33 = 0,46; ESSR = 0,6.
Статистика для теста Чоу определяется следующим образом:
(ESSR ESSUR)/(и + 1) _ (0,6-0,46)/3 _
ESSUR /(Ті + Г2 2 • (и +1)) 0,46 /(300 6) 0,0467
= 30,21 > 3,16.
0,0015646
Так как расчетное значение больше табличного значения ^(0,95; 2; 294), то нулевая гипотеза отвергается. Таким образом, мы подтвердили различия в зарплате мужчин и женщин.
у, = ао + (Ді + Ді • zt) ■ хи + а2 ■ х2, + £,= = «о + Дн • хи + Ді • z, ■ хи + а2 ■ + £•](.
С помощью критерия Стьюдента проверяется статистическая значимость коэффициента Д]. Таким образом, нулевая гипотеза будет Я0:Ді = 0.
4. Для модели, построенной по всей выборке, матрица факторов будет выглядеть следующим образом:
1 о 1 о
О 1 гт-ъ
х х-'о Т2
V0 'І, Соответственно рассчитаем
Г 1 п | ( тх | ||
0 | I* | ||
1 | ;Х'.у = | t= т | |
0 | т | I у, | |
V |
( ?! л
І УгКт-то
V'=tm
Для первой подвыборки получим
у, = ах ■ D, + є, = ах ■ 1 + е, t = 1,Тх. МНК-оценка параметра
м
Для первой второй подвыборки имеем
у, = а2-+s,;t=Tx + ,...,T.
Соответственно МНК-оценка параметра
I У,
t=t,+
а2 = —1 .
Г-7І
Таким образом, эквивалентность оценок доказана. Задание 9.3
Имеется линейная однофакторная регрессионная модель
у, = dot + аХ1 ■ х,, (9.3) в которой неизвестные параметры меняются в случайном порядке
щ, =а,+еи, /' = 0,1; где а, — нестохастическая величина и
M[eit] = 0; Дбй] = ; Cov(s,-„s;x) = j * £ Требуется.
Показать, что эту модель можно интерпретировать как линейную регрессионную модель с гетероскедастичным остаточным членом.
Решение.
Поставим значения параметров в уравнение (9.3) и получим
у(=Щ + є1ґ + (й2 + E2t) • xt = Й1 + «2 • xt + є1ґ + e2l ■ xt. Ошибка этого уравнения
Математическое ожидание ошибки М[$] = Щей + Si, ■ X,} = М[єхі] + М[є2і ■ xt] = MfoJ +x» • МЫ = 0.
Дисперсия ошибки
D[$] = М[$ М(£)]2 = М[$2 2 • $ • М($) + М2(£)] = М[$2] = = М[£к + є2і • Xtf = [єг? + 2 • єи ■ є2, ■ Xt + є2}х} = = о? + 2 • xt • CovOi, • £2() + *} • cr22.
Таким образом, дисперсия остатков является функцией xt, т.е. имеем модель с гетероскедастичными остатками.
Задание 9.4
На основании квартальных данных с 1993 по 1997 г. с помощью МНК было получено следующее уравнение регрессии:
у, = 1,14 0,0111 • хх, 5,478 • x2t + 0,0432 • xit.
Регрессионная сумма квадратов равна 112,44, а сумма квадратов остатков — 22,78.
Требуется.
Проверить гипотезу о наличии сезонности, если при добавлении в уравнение трех фиктивных переменных, соответствующих трем первым кварталам года, регрессионная сумма увеличилась до 120,75.
Проверить гипотезу о наличии структурного изменения между вторым и третьим кварталами 1995 года, если при раздельном проведении двух регрессий на основании данных с первого квартала 1993 г. по 2-й квартал 1995 г. и с 3-го квартала 1995 г. по 4-й квартал 1997 г. были получены суммы квадратов остатков соответственно 11,44 и 2,75.
Решение.
1. Новое уравнение регрессии запишется следующим образом:
у, = «о + ах ■ xxt + а2 ■ x2t + аг • xit + а4 • dlt + а5 • d2, + оц, ■ d3t.
Тестируем гипотезу Н0: а5 = = а7 = 0 (сезонность отсутствует). Регрессионные суммы квадратов для регрессий без ограничений и с ограничениями равны по условию задачи соответст-180 венно 120,75 и 112,44. Общая сумма квадратов совпадает и в том и в другом случае, поэтому получим
ESSR ESSUR = RSSR RSSm = 120,75 112,44 = 8,31;
ESSm = TSSr RSSm = 112,44 + 22,78 120,75 = 14,47.
о -ji /-j 7 77
F= ' ~= = 2,5 > 3,41 = F(0,95;3;13).
14,47/13 1,1077
Нельзя отклонить гипотезу об отсутствии сезонности. 2. Проводим тест Чоу (см. также задание 9.2 п.2)
ESSr = 22,78; ESSm = ESSx + ESS2 = 11,44 + 2,75 = 14,19;
_ (22,78-14,19)/4 2,1425
= 1,96 < 3,18 = F(0,95;4;13).
14,19/13 1,0915
Таким образом, нулевую гипотезу (уравнения для первого и второго периода одинаковы) не отвергаем. Считаем, что структурного изменения не произошло.
Глава 10
ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СО СПЕЦИФИЧЕСКИМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
l + e_z' Соответственно получим
Таким образом, вероятности роста занятости в фирмах А и Б составят соответственно 81,76\% и 85,81\%.
Задание 10.1
Logit-модель была применена к выборке, в которой у = 1, если количество занятых в фирме выросло (у = 0 — в противном случае), х — доход фирмы в млн. долл.; хг = 1, если фирма относится к области высоких технологий (хг = 0 — в противном случае). Получена следующая модель:
л
2 = 0,40 + 0,20-^ +0,10-jc2.
Требуется определить оценку вероятности роста занятости для высокотехнологичной фирмы А с доходом в 5 млн. долл. и для фирмы Б, не относящейся к сфере высоких технологий и имеющей доход 7 млн. долл.
Решение.
л
Рассчитаем сначала значения функций z .
гі =0,4 + 0,2-5 + 0,1-1 = 1,5;
л
Z2 =0,4 + 0,2-7 + 0,1-0 = 1,8.
В соответствии с Logit-моделью вероятность роста занятости определяется следующим образом:
Задание 10.2
Требуется.
1. Определить на основе Logit-модели оценку вероятности для мужчины и для женщины, имеющих 12 лет образования и 15 лет опыта работы, оказаться низкооплачиваемыми работниками.
Определить на основе Logit-модели изменение оценки вероятности быть низкооплачиваемым работником для мужчины с характеристиками из п. 1, если он проучится на один год больше.
Ответить на вопросы п. 1-2 с использование!* линейной регрессионной модели.
Решение.
Рассчитаем сначала в соответствии с Logit-моделью значел
ния функций z для мужчины и для женщины.
Л
zi = 5,87 0,56 • 12 +1,26 • 0 0,06 • 15 = -1,75;
z2 = 5,87 0,56 • 12 +1,26 • 1 0,06 • 15 = -0,49.
В соответствии с Logit-моделью вероятности быть низкооплачиваемым работником составят соответственно для мужчины и женщины
Р(У =l|*i) = Г-Г^Г = = 0,1480.
1 + е~И'75) 1 + 5,7546
P(y2=\x2) = гіг75Г = = 0,3799.
К'г l' i + e-(-0,49) i + i;6323
В соответствии с Logit-моделью маржинальный эффект определяется как
Л>і = l|xi)-(l -POi = l|xi))-a, = = 0,1480<1 0,1480>(-0,56) = -0,0706,
т.е., если мужчина с характеристиками из п. 1 проучится на 1 год больше, то оценка вероятности быть низкооплачиваемым работником уменьшится для него на 7\%.
Оценим теперь вероятности быть низкооплачиваемыми работниками в соответствии линейной регрессионной моделью:
рх =0,94-0,05-12 + 0,15-0-0,01-15 = 0,19;
рг =0,94-0,05-12 + 0,15-1-0,01-15 = 0,34.
Маржинальный эффект в соответствии с линейной регрессионной моделью равен оценке коэффициента регрессии, т.е. если мужчина с характеристиками из п. 1 проучится на 1 год больше, то оценка вероятности быть низкооплачиваемым работником уменьшится для него на 5\%.
Задание 10.3
Имеется выборка, состоящая из 528 наблюдений, в которой у—, если работник состоит в профсоюзе (у = 0 — в противном случае). Предполагается, что членство в профсоюзе зависит от следующих факторов: х} — образование, лет; х2 — пол (1 — жешкий, 0 — мужской); Хз — опыт работы, лет; Х4 — опыт работы в квадрате. Выборочные средние равны
7 = 0,18; X! =13,09; х2 = 0,46; х"3 =17,66; 5с4 = 459,45.
На основе выборочных данных была получена следующая Probit-модель:
у = F(-0,900 0,015*! -0,599*2 + 0,029х3 0,0003х4) . Требуется.
Определить, насколько снижается вероятность быть членом профсоюза в расчете на год дополнительного образования.
Решение.
Рассчитаем сначала значение линейной регрессионной функции
-0,900 0,015-13,09 0,599-0,46 + 0,029-17,66 --0,0003-459,45 = -0,99759.
Предельный эффект фактора образования рассчитывается следующим образом:
дР( у = 1)
где р(х'-а) — функция плотности нормального распределения. В нашем случае
Д-0,99759) = 0,15924. 0,15924-(-0,15) = -0,00239.
Таким образом, оценка вероятности быть членом профсоюза при увеличении уровня образования на 1 год уменьшается на 0,2\%.
Задание 10.4
Имеется набор данных, состоящий из 6 наблюдений.
У 0 0 0 1 1 1
х -I -2 0 1 1 1
Требуется.
Оценить линейную модель вероятности с помощью МНК. Рассчитать R1.
Использовать оцененную модель для разделения индивидуумов на 2 группы. Рассчитать количество случаев правильного отнесения к соответствующей группе, применяя следующее правило классификации:
группа I (у = 1), если у > 1/2 ;
л
группа II (у = 0), если у < 112 .
Сопоставьте долю правильного попадания и коэффициент детерминации.
Решение.
Уравнение линейной модели вероятности, оцененное с помощью МНК, выглядит следующим образом:
у = 0,5 + 0,375 ■x;Rl = 0,75.
Оценки вероятности события у = 1 равны 0,125; -0,25; 0,5; 0,875; 0,875; 0,875. Следовательно, в группу I войдут наблюдения с 4-го по 6-е; в группу II с 1-го по 3-е. Все наблюдения правильно отнесены к соответствующей группе. Доля правильного попадания равна 100\%, т.е. заметно выше, чем коэффициент детерминации.
Задание 10.5
Требуется.
1. Определить по цензурированным данным МНК-оценку параметра Tobit-модели
у,' = а+є,,
где є, ~N(0, о2),
у, = у*, если у'>0, yt = 0, если у, <0.
2. Определить по усеченным на уровне 0 данным МНК-оценку параметра Tobit-модели.
Решение.
МНК-оценка параметра Tobit-модели по цензурированным данным равна
48
48 48
МНК-оценка параметра Tobit-модели по усеченным данным равна
а = І^=12750 26 26
В расчете принимают участие только те наблюдения, в которых у, >0.
МНК дает завышенные оценки параметра а.
Задание 10.6
В 1973 году в г. Трое (штат Мичиган) проводился референдум по вопросу о введении местного школьного налога. В ходе опроса были выявлены определенные характеристики участников референдума (см. табл. 10.3).
Окончание таблицы 10.3
Название характеристики | Значение | |
1 | 0 | |
PUB3 | Трое детей посещают государственную школу | В противном случае |
PUB4 | Четверо детей посещают государственную школу | В противном случае |
PUB5 | Пятеро и более детей посещают государственную школу | В противном случае |
PRIV | В семье есть дети (один или более), посещающие частную школу | В противном случае |
SCHOOL | Респондент работает учителем (в государственной или частной школе) | В противном случае |
YESVM | Респондент проголосовал «за» на референдуме по вопросу о введении местного «школьного» налога | В противном случае |
Кроме того, YEARS = количество лет, прожитых в Трое; LogINC = натуральный логарифм годового дохода домашнего хозяйства, долл.; PTCON = натуральный логарифм суммы годовых платежей по налогу на имущество, долл. Информация о 95 респондентах представлена в табл. 10.4.
Продолжение таблицы 10.4
Продолжение таблицы 10.4
№ | PUB1&2 | PUB3&4 | PUB5 | PRIV | YEARS | SCHOOL | Log INC | PTCON | YESVM | № | PUB1&2 | PUB3&4 | PUB5 | PRIV | YEARS | SCHOOL | Log INC | PTCON | YESVM | |
12 | 1 | 0 | 0 | 0 | 30 | 0 | 09.770 | 6.3969 | 0 | 47 | 1 | 0 | 0 | 0 | 26 | 0 | 09.770 | 6.7452 | 0 | |
13 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 09.770 | 6.7452 | 1 | 48 | 0 | 0 | 0 | 1 | 18 | 0 | 10.222 | 7.4955 | 0 | |
14 | 0 | 1 | 0 | 0 | 3 | 0 | 10.021 | 7.0475 | 1 | 49 | 0 | 0 | 0 | 0 | 4 | 0 | 09.7700 | 6.7452 | 0 | |
15 | 0 | 1 | 0 | 0 | 3 | 0 | 10.820 | 6.7452 | 1 | 50 | 0 | 0 | 0 | 0 | 6 | 0 | 10.021 | 7.0475 | 0 | |
16 | 0 | 1 | 0 | 0 | 42 | 0 | 09.770 | 6.7452 | 1 | 51 | 0 | 0 | 0 | 0 | 12 | 0 | 10.021 | 6.7452 | 1 | |
17 | 0 | 1 | 0 | 0 | 5 | 1 | 10.222 | 7.0475 | 1 | 52 | 1 | 0 | 0 | 0 | 49 | 0 | 09.4335 | 6.7452 | 1 | |
18 | 1 | 0 |
Обсуждение Сборник задач подготовлен по учебной дисциплине «Эконометрика»Комментарии, рецензии и отзывы Глава 9 эконометрические модели с переменной структурой: Сборник задач подготовлен по учебной дисциплине «Эконометрика», Дорохина Елена Юрьевна, 2003 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон В сборнике представлены такие темы, как «Проблемы построения эконометрической модели», «Методы оценки параметров линейных эконометрических моделей», «Линейные модели временных рядов», «Модели финансовой эконометрики» и др.
|