6.6. математическая теория массового обслуживания

6.6. математическая теория массового обслуживания

Теория массового обслуживания впервые применялась в телефонном обслуживании, а затем и в других областях хозяйственной деятельности.

Например, организация нормального процесса обслуживания покупателей связана с правильным определением следующих показателей: количества предприятий данного торгового профиля, численности продавцов в них (в том числе и «механических»), наличия соответствующих основных фондов, частоты завоза товаров, численности обслуживаемого населения, плотности обращаемости и потребности в соответствующих товарах (по групповому и внутригрупповому ассортименту). Если предположить, что предприятие располагает необходимыми основными фондами, торгует товарами, имеющимися в достаточном количестве (при нормальной частоте завоза), то и тогда в процессе обслуживания остаются такие переменные величины, которые могут существенно повлиять на качество обслуживания. Надлежит, следовательно, выбрать такой оптимальный вариант организации торгового обслуживания населения, при котором время обслуживания будет минимальным, качество высоким, не будет излишних народно-хозяйственных затрат. Математический аппарат теории массового обслуживания облегчает решение этой задачи. При этом различают две формы обслуживания: с неявными потерями и с явными потерями.

Систему массового обслуживания с неявными потерями (правило очередей) можно показать на примере обслуживания рабочих необходимым инструментом (из обособленных кладовых промышленного предприятия).

275

Допустим, что в инструментальной кладовой работают два кладовщика. Требуется определить, в какой мере они своевременно обеспечивают заявки на обслуживание, поступающие от рабочих; не обходятся ли простои рабочих в очереди за инструментом дороже, чем дополнительное содержание еще одного или двух кладовщиков?

Для решения данной задачи необходимы прежде всего хроно-метражные замеры о потоке требований на обслуживание в единицу времени. Если хронометраж осуществлялся в течение 10 дней каждые 15 мин за смену (кроме начала и конца рабочего дня), то за этот отрезок времени было произведено 300 наблюдений (30 наблюдений, умноженное на 10). Время наблюдений (7) составит 4500 мин (15 • 300). Причем таких промежутков, когда на склад никто не приходил или приходил только один рабочий, не наблюдалось, приход двух рабочих отмечался один раз, трех — три раза и т. д. (табл. 6.12).

Частота прихода двух рабочих при 300 наблюдениях равна

0,33(^00), тргх-цА.ЮОит.д.

Для определения среднего числа приходов в единицу времени (X) исчисляется полное число приходов (N) как сумма произведений числа приходов (количества пришедших в кладовую рабочих) на наблюдаемое число приходов.

Таким образом, среднее число требований на обслуживание, т. е. среднее число приходов в единицу времени (X), составит

, N 4064 попэ

X = — = -0,903 чел.-мин.

Г 4500

Чтобы определить распределение вероятностей для длительности обслуживания при предположении, что закон распределения экспоненциальный1, вычислим среднюю продолжительность одного обслуживания (Та5а); она равна 1,6 мин.

После этого можно установить интенсивность обслуживания

г<*и *S—;и = 77 = 0,625 чел.-мин

'обсл [>6

1 Закон распределения случайной величины, обладающей следующим свойством: промежутки времени между любыми двумя соседними событиями и его среднее квадратическое отклонение равны /"к, где X — интенсивность потока, являющегося экспоненциальным, или показательным.

В случае, когда X < l, увеличения очереди не возникает, так как удовлетворение требований происходит не ранее их поступления. В нашем примере X > ц (0,903 > 0,625) и в кладовой образуется очередь.

Точно определить величину очереди как случайную нельзя. Можно вычислить вероятность того, что в момент времени (/) очередь будет характеризоваться числом требований

ад = а"0 о); ад =(1 а); а =

$

где P0(i) — вероятность отсутствия требований.

В тех случаях, когда а > 1, вероятность отсутствия очереди (ст0) обычно берется из графиков (в нашем примере а = 1,445).

Для построения таких графиков воспользуемся таблицей значений То Для различных значений ст и и (и — количество кладовщиков в инструментальной кладовой).

По данным табл. 6.13, в нашем случае рассматривается многолинейная система, когда и > 1 (количество кладовщиков превышает единицу).

В том случае, когда в системе работает и кладовщиков, среднее время ожидания в очереди определится по формуле при и 4 2:

Определим среднее время ожидания (Тс), которое складывается из среднего времени ожидания обслуживания в очереди (Tm) и среднего времени обслуживания (Т^^):

1,119

=1,613;

1,4552-0,536

1,445 1 0,694

2-210,625 1 Т = 1,613 + 1,6 = 3,213 мин;

при п = 3:

Т

1,4453-0,386 3-310,62sfl 1,445

1,165

при п =4:

Г„ = 0,199 + 1,6= 1,799 мин; 1,4454 0,306 1,334

= 0,035;

W' 1445 1 38,325

4-410,625|1

0,035 + 1,6 = 1,635 мин и т. д.

Т =

Предположим, что у рабочего потери от простоев составляют 5, а содержание кладовщика — 4 ден. ед. в единицу времени. За период времени Т в систему поступает X Г заявок, т. е. 1,445 Г заявок.

Потери вследствие простоя рабочих при различном числе кладовщиков, расходы на заработную плату кладовщиков, а также суммарные затраты и потери приведены в табл. 6.14.

Количество кладовщиков

Затраты

Таблица 6.14 Суммарные

Порядок исчисления показателя качества обслуживания с явными потерями покажем на примере для условий простейшего потока требований.

Стол заказов при крупном универсаме оборудован четырьмя телефонами. Среднее число вызовов в течение часа составляет 96, среднее время, затрачиваемое на прием одного заказа, — 2 мин. Требуется определить, как полно загружены приемщики заказов, какова вероятность отказа в обслуживании.

Степень загруженности приемщиков определяется по формуле

затрачиваемое на прием одного заказа, составляет 2 мин, или

следовательно, — = — = 3,2. Величины вероятностей Р, Ръ Р, Рл у 30

приведены в табл. 6.15. Значение членов второго столбца найдено по формуле

отсюда

р

Умножая каждое из значений 1 . получим величину Рк. Затем, умножая значение членов третьего столбца на значения первого столбца (на 0), второго (на 1) и т. д. и суммируя их, получим математическое ожидание числа занятых приемщиков:

Следовательно, каждый приемщик заказов будет занят в

ц, = І KPk =2.4693. i»1

Ответим на второй вопрос: какова вероятность отказа в обслуживании?

Для этого найдем вероятность того, что все приемщики будут заняты в момент обращения очередного клиента:

Подставляя значения п = 4, найдем значение Рп:

4,369 19,151 =0,23.

Полученный результат показывает, что из 100 заказчиков в среднем 77 будут обслужены, а 23 — нет. Следовательно, обслуживающую систему нельзя признать достаточной (23\% отказов); экономия на численности обслуживающего аппарата отрицательно влияет на качество обслуживания населения.

Число приемщиков отдела заказов целесообразно увеличить до пяти, тогда математическое ожидание числа необслуженных заявок составит лишь 0,13. Иными словами, из 100 заказчиков будет обслужено 87, а 13 получат отказы. Таким образом, увеличение числа приемщиков на одного повысит качество обслуживания с 77 до 87\%.