2.3. критерии оптимальности в условиях полной неопределенности

2.3. критерии оптимальности в условиях полной неопределенности

Неопределенность, связанную с отсутствием информации о вероятностях состояний среды (природы), называют «безнадежной» или «дурной».

В таких случаях для определения наилучших решений используются следующие критерии:

• критерий гарантированного результата (максиминный критерий Вальда) — это пессимистический по своей сути критерий, потому что принимается во внимание только самый плохой из всех возможных результатов каждой альтернативы. Этот подход устанавливает гарантированный минимум, хотя фактический результат может и не быть настолько плохим;

критерий оптимизма (критерий максимакса) соответствует оптимистической наступательной стратегии; здесь не принимается во внимание никакой возможный результат, кроме самого лучшего;

критерий пессимизма характеризуется выбором худшей альтернативы с худшим из всех худших значений окупаемости;

критерий минимаксного риска Сэвиджа можно рассматривать как критерий наименьшего вреда, который определяет худшие возможные последствия для каждой альтернативы и выбирает альтернативу с лучшим из плохих значений;

критерий обобщенного максимина (пессимизма — оптимизма) Гурвица позволяет учитывать состояние между крайним пессимизмом и безудержным оптимизмом. В определенных обстоятельствах каждый из этих методов имеет свои достоинства и недостатки, которые могут помочь в выработке решения.

При сравнительном анализе критериев эффективности нецелесообразно останавливаться на выборе единственного критерия, так как в ряде случаев это может привести к неоправданным решениям, ведущим к значительным потерям экономического, социального и иного содержания. Поэтому в указанных ситуациях имеется необходимость применения нескольких критериев в совокупности. Например, наряду с критерием гарантированного результата может быть использован критерий Сэвиджа, критерий оптимального поведения может дополняться применением пессимистического критерия и т.д.

Применение различных критериев эффективности для различных задач выбора оптимальных решений в условиях неопределенности показывает, что подход, базирующийся на комплексном применении указанных критериев, может стать определяющим.

2.3.1. Критерий гарантированного результата

Его также называют максиминным критерием Вальда. Сущность данного критерия заключается в следующем. ЛПР располагает множеством стратегий (вариантов, альтернатив) решения проблемы:

Р = {Рі} і = їт.

Указанные стратегии считаются контролируемыми (управляемыми) факторами. Наряду с факторами управляемыми действуют факторы, которые не поддаются контролю. Обозначим их

через 77 = {яД / = 1,и.

В качестве Р„ могут быть: технические параметры проектируемых систем, экономические показатели состояния предприятия, различные варианты решения поставленных задач и т.п.

Факторы IJj представляют: уровень спроса на товары, предлагаемые фирмой, рыночные цены, условия эксплуатации технических и производственных систем, действия конкурентов и т.д.

Для оценки эффективности принимаемых решений вводим показатель эффективности Е и считаем, что функция Е(Р, П) является известной. Так как факторы Р и Я являются дискретными, то и эффективность Е также представляет собой множество дискретных чисел. Таким образом, каждой точке контролируемых и неконтролируемых факторов (Р„ Щ, ставится в соответствие значение эффективности Е {Рі, Щ. Следовательно, можно построить

матрицу Е = eij, которая представлена в виде табл. 2.1.

Для каждого контролируемого фактора Р, (строки) находится min e(Pj, Гір, в результате чего определяется набор значений по1< j<n

казателя эффективности е(Ру, /7)min, е(Р2, /7)min,е(Рм, 77)min. Сравнивая полученные величины, выбирают управляемый фактор РгеР, при котором обеспечивается максимальное значение Е(Р, П).

Таким образом, критерий гарантированного результата (мак-симинный критерий Вальда) записывается в виде

Т а б л и ц а 2.2

і j \<m<i\<j<n 1 (Z.J.i;

Данный критерий обеспечивает максимизацию минимального выигрыша или, что то же самое, минимизацию максимальных потерь, которые могут быть при реализации одной из стратегий. Критерий прост и четок, но консервативен в том смысле, что ориентирует принимающего решение на слишком осторожную линию поведения. Величина, соответствующая максимальному критерию, называется нижней ценой игры, под которой следует понимать максимальный выигрыш, гарантируемый в игре с данным противником выбором одной из своих стратегий при минимальных результатах. Это перестраховочная позиция крайнего пессимизма, рассчитанная на худший случай. Такая стратегия приемлема, например, когда игрок не столь заинтересован в крупной удаче, но хочет себя застраховать от неожиданных проигрышей. Выбор такой стратегии определяется отношением игрока к риску.

Рассмотрим следующую задачу. Пусть, например, предприятие готовится к переходу на новые виды продукции, при этом возможны четыре решения Р, Р2> Рз, Р4, каждому из которых соответствует определенный вид выпуска или их сочетание.

Результаты принятия решений существенно зависят от обстановки, которая в значительной мере неопределенна. Варианты обстановки характеризует структура спроса на новую продукцию, которая может быть трех типов: 77j, П2, Щ.

Выигрыш, характеризующий относительную величину результата (доходы, прибыль и т.п.), соответствующий каждой паре сочетаний решений Р и обстановки П, представлен в табл. 2.2.

Нужно найти такую стратегию (линию поведения) Р„ которая по сравнению с другими является наиболее выгодной (оптимальной). Показатель эффективности

Ег= max {0,25;0,20;0,10;0,20}= 0,25

г

и, следовательно, предпочтение необходимо отдать варианту Р.

Выбрав решение Р, мы независимо от вариантов обстановки получим выигрыш не менее 0,25. При любом другом решении, в случае неблагоприятной обстановки, может быть получен резуль-72 тат (выигрыш) меньше 0,25. Так, при выборе решений Р2, полученный выигрыш, в зависимости от наступившего варианта обстановки, будет колебаться от 0,2 до 0,75. Для решений Рз и Р4 границы, в которых будет колебаться выигрыш, составят 0,10 + 0,80 и 0,20 + 0,90.

Отметим еще раз, что этот критерий ориентирует ЛПР на слишком осторожную линию поведения. Так этот критерий никак не учитывает, что в случае принятия решения Pi (т.е. при ориентации на выигрыш 0,25), максимальный выигрыш не превышает 0,4. В то время, как выбирая, например, решение Рз, при гарантированном выигрыше 0,1 в случае благоприятной обстановки можно получить выигрыш равный 0,80.

В ряде экономических задач в качестве критерия эффективности принимаемых решений выступает показатель минимума затрат. В этих ситуациях принцип гарантированных затрат формулируется в виде

Зг = min max 3,-,-. (2.3.2) ' j

I В качестве затрат 3 = ||3у|| могут выступать: капитальные вложения, валовые издержки производства, приведенные годовые затраты и другие показатели.

і Пример. Производится сравнение различных инвестиционных проектов Прх, Пр2, ■■■, Прт. Для реализации каждого из проектов необходима определенная величина капитальных вложений К = {к j}, і = йїп, величины К~і являются управляющими (контролируемыми) факторами.

Каждому проекту соответствует определенное значение себестоимости продукции, которую предполагается выпускать при реализации проекта. Совокупность значений себестоимости продукции представляется в виде:

С = {СД J = lmВеличины Cj на начальных этапах выполнения проекта точно определить невозможно, поэтому они считаются неконтролируемыми факторами. Каждой паре К{, Cj, соответствует определенное значение приведенных годовых затрат, определяемых по формуле

Зу = Ен • К( + Cj,

где Ен — нормативный коэффициент эффективности капитальных вложений.

Располагая наборами {К(} и {Cj}, составляем матрицу приведенных затрат 3 = p(Kt, Cj )|| = ptj|, которая приведена в табл. 2.3.

Критерий гарантированных затрат реализуется как Зг =min{l30,200,200;150}=130.

і

В качестве наиболее эффективной выступает первая стратегия, которой соответствуют капитальные вложения К}.

2.3.2. Критерий оптимизма

При использовании данного критерия, называемого также критерием максимакса, ЛПР ориентируется на то, что условия функционирования анализируемых систем будут для него наиболее благоприятными. Вследствие этого оптимальным решением является стратегия, приводящая к получению наибольшего значения критерия оптимальности в платежной матрице. Этот критерий целесообразно применять в тех случаях, когда имеется принципиальная возможность повлиять на функции противоположной стороны.

Если анализируется матрица эффекта Е(Р, 77) того или иного вида, то выбор управляемых факторов осуществляется таким образом, чтобы обеспечить максимум эффекта. И в этом случае критерий оптимизма записывается в виде

En = max max Е(Р, 77) = max max eti. n x

і j \<i<m\<j<n 1 y^.J.J)

Пример. Анализируется матрица выпуска новых видов продукции, приведенная в табл. 2.2. Необходимо определить оптимальную стратегию с помощью принципа оптимизма. В данном случае принцип оптимизма записывается в виде

Е0 = тах{0,40; 0,75;0,80;О,90}= 0,90,

что отвечает выбору решения Р4.

Если рассматривается матрица затрат, то управляемые факторы выбираются так, чтобы минимизировать указанные затраты. Тогда рассматриваемый критерий формируется следующим образом:

3„ min min 3(Р, П) = min min Зи. п А

і j l<i<ml<j<n 1 А.з.*)

Пример. Рассматривается матрица приведенных годовых затрат, соответствующая табл. 2.3. Необходимо определить наиболее эффективную стратегию, используя критерий оптимизма. Применительно к рассматриваемой ситуации принцип оптимизма может быть представлен в виде

30 =min{75,80,60,90}=60.

і

Следовательно, наиболее эффективной является стратегия, соответствующая К}. Сравнивая два данных решения этого пункта и

75

решения, полученные при использовании критерия гарантированных затрат, видим, что они не совпадают. Следует ожидать, что такая ситуация будет характерна для большинства анализируемых реальных задач из-за принципиальных отличий критериев.

Отметим, что ситуации, требующие применения критерия оптимизма, в экономике в общем нередки и пользуются им не только безоглядные оптимисты, но и игроки, поставленные в безвыходное положение, когда они вынуждены руководствоваться принципом «или пан, или пропал».