Метод смыкания рядов

Метод смыкания рядов

Если имеются уровни ряда, которые исчислены по разной методологии или в разных границах, то такой временной ряд приводят к сопоставимому виду с помощью метода смыкания рядов

Смыкание рядов

это объединение в один более длинный динамический ряд двух (или нескольких) рядов динамики, уровни которых исчислены по разной методологии или по разным границам территорий

Для смыкания необходимым условием является наличие за один период данных, рассчитанных по разной методологии (или в разных границах).

Если показатели уровня ряда принимают как положительные, так и отрицательные значения (напри-ВАЖНО! Я мер, прибыль и убыток в организации за ряд лет).

то данные не могут быть использованы для анализа и временной ряд является несопоставимым

Общие составляющие уровней временнбго ряда

Общие составляющие компоненты временнбго ряда у, = и, + v, + е,ти у, = и,« v е,

Регулярная (основная) компонента, характеризующая общую тенденцию ряда (тренд)

Сезонная компонента (внутриго-дичные колебания) в общем виде — циклическая составляющая

Случайная компонента (случайные отклонения)

Как видим, все компоненты, которые формируют уровень временнбго ряда, подразделяются на три группы. Основной составляющей является тренд. Значения сезонной и случайной компонент остаются после выделения из него трендовой составляющей.

Если все составляющие компоненты найдены верно, то математическое ожидание случайной компоненты равно нулю и ее колебания около среднего значения постоянны.

Графическое изображение составляющих временнбго ряда

Тренд (основная тенденция ряда динамики)

Циклические колебания

Случайные факторы

Пример 5.4

Пример 5,5

Т

WW

Уровни временного ряда можно представить как сумму или произведение всех его составляющих компонент (трендовой, сезонной и случайной). Модель, в которой все компоненты ряда представлены как сумма этих составляющих, называют аддитивной. Если факторы влияния представлены как произведение составляющих, то модель называют мультипликативной.

Модели составляющих компонент временного ряда

Модели

Тренд

Основной компонентой, как уже говорилось, является тренд.

Понятие тренда

устойчивая тенденция во временном ряду более или менее свободная от случайных колебаний

Тенденции изменения показателей сложных общественных явлений только приближенно можно выразить тем или иным уравнением, линией тренда.

Во временных рядах обычно различают тенденции трех видов.

Виды тенденций во временных рядах

Тенденция среднего уровня выражается обычно с помощью математического уравнения линии, вокруг которой варьируют фактические уровни исследуемого явления. Уравнение имеет следующий вид:

Смысл этой функции заключается в том, что значения тренда в отдельные моменты времени выступают математическими ожиданиями ряда динамики

Тенденция дисперсии характеризует тенденцию изменения отклонений между эмпирическими уровнями и детерминированной компонентой ряда

Тенденция автокорреляции характеризует связь между отдельными уровнями ряда динамики

При выборе уравнения тренда необходимо руководствоваться принципом простоты, который заключается в выборе из нескольких типов линий более близкую к эмпирическим данным (более простую). Обосновано это еще и тем, что чем сложнее уравнение линии тренда и чем большее число параметров оно содержит, тем при равной степени приближения труднее дать надежную оценку этих параметров.

На практике чаще всего используют следующие основные типы трендов временных рядов.

Основные типы трендов

Таким же образом подразделяются типы тенденций и уравнений тренда.

В эконометрическом исследовании проводят количественную оценку каждой из перечисленных компонент по выбранной модели.

Прежде чем выделять тренд, необходимо проверить гипотезу о его наличии. На практике различают несколько критериев для проверки наличия тренда, но основными выступают два критерия, приведенные на схеме.

Метод разности средних двух частей одного и того же ряда.

Расчетное значение критерия Стьюдента определяется по следующей формуле:

Критерий Стьюдента

где F, = К, — средние для каждой части временного ряда; я,, /г, — число наблюдении в каждой из частей ряда; о — среднее квадратическое отклонение разности средних

Табличное значение критерия Стьюдента выбирается с числом степеней свободы, затем определяется среднее квадратическое отклонение.

Параметр

Расчет и содержание параметра

Число

степеней

свободы

V) = и, + л,

Среднее квадратическое отклонение разности средних

а =

(щ I)2 ■ а2 + (п2 -I)2

п, + П-,

Для расчета дисперсий в каждой части временнуго ряда выбирается число степеней свободы (и, — 1) и (пг~ 1). Соответственно сама дисперсия i-Pi части временного ряда определяется по формуле

07 =

К*.-її

п

1, 2, п.

Гипотезу о равенстве дисперсий проверяют с помощью критерия Фишера:

где о, > См

Если фактическое значение критерия Фишера меньше табличного значения при заданном уровне вероятности, то гипотеза о равенстве дисперсий принимается.

Если фактическое значение критерия Фишера больше табличного, то гипотеза о равенстве дисперсий отвергается; тогда критерий Стьюдента для проверки существенности разности средних не может быть использован

Метод Фостера—Стюарта. При использовании этого метода вычисления строят в определенной последовательности:

Этапы вычисления наличия тренда при использовании метода Фостера—Стюарта

у

/. Сравнение каждого уровня временного ряда со всеми предыдущими уровнями

Сравнение проводят по следующим неравенствам:

если Y > Кн; У ,; У ,; У . то U.= 1; е = 0;

если К < Гн; Г '2; У, , то тогда 11= 0; е = I

у

2. Вычисление значений величин q и d

Вычисления строят по следующим формулам:

q = I <?,: d = ld/,

где qt = U + et; of. = l/ — e.

Величина <7 характеризует тенденцию изменения дисперсии временного ряда и принимает значения в пределах: 0 < ц < п — 1. Если все уровни ряда равны между собой, то ц = 0. Если уровни временного ряда монотонно убывают или возрастают, то q = п — 1. Величина Охарактеризует тенденцию изменения средней и имеет два предела — нижний и верхний. Нижний предел d = —(л — 1) характеризует монотонно убывающий ряд: верхний предел d = (п — 1) характеризует монотонно возрастающий ряд. Величина d может быть равна 0, но такие случаи в практических расчетах крайне редки

3. Определение критерия Стьюдента и его сравнение с табличным

значением

Фактические значения критерия Стьюдента для разностей (ц — ц ) и (d — 0) определяются по следующим формулам:

t q-=^- I d с, a2

где a,, a, -среднее квадратическое отклонение для величины S и d

q — среднее значение величины (/для ряда, в котором уровни расположены случайным образом.

Если фактические значения критериев Стьюдента меньше табличных при определенном уровне значимости, то гииотсча об отсутствии тренда в средней и дисперсии подтверждается

Линейный тренд

Самым простым типом линии тренда является прямая линия, которая описывается линейным уравнением тренда.

Уравнение прямой

(линейный тренд)

где v, — выровненные (теоретические) уровни тренда тля лет с номером /': г — номера моментов или периодов времени, к которым относятся уровни временного ряда (год, месяц, др.); аи, а{ —параметры іренда

Характеристика параметров линейного тренда

Величина параметров а0 и я, определяется по методу наименьших квадратов. Для этого строят систему нормальных уравнений.

Система уравнений для линейного тренда

Для решения уравнения с двумя неизвестными начало отсчета времени переносят в середину ряда. При нумерации периодов времени точно от середины ряда половина номеров г будет отрицательными числами, а половина — положительными, т.е. = 0. В этом случае система нормальных уравнений сокращается.

Упрощенная система уравнений Идя линейного тренда

Линейный тип тренда подходит для отображения тенденции примерно равномерного изменения уровней: равных в среднем величин абсолютного прироста или абсолютного сокращения уровней за равные промежутки времени.

Причина близкого к равномерному изменению абсолютного прироста (сокращения) заключается во влиянии разнонаправленных и разноускоренных сил факторов, которые взаимно усредняются, частично взаимно погашаются, а равнодействующая их влияния приобретает характер, близкий к равномерному. Таким образом, равномерная динамика становится результатом сложения влияния большого количества факторов на изменение изучаемого показателя.

Графическое изображение линейного тренда — прямая линия в системе прямоугольных координат с линейным масштабом на обеих осях (рис. 5.1).

Тренд в форме прямой линии обладает рядом свойств.

Тыс. человек 148 ООО

Свойства линейного тренда

Основные свойства линейного тренда

Равные изменения за равные промежутки времени

Если средний абсолютный прирост — положительная величина, то величина относительного прироста, или темпы прироста, постепенно уменьшаются

Если среднее абсолютное изменение — отрицательная величина, то относительные изменения, или темпы сокращения, постепенно увеличиваются по абсолютной величине снижения к предыдущему уровню

Если имеется тенденция к сокращению уровней, а изучаемая величина по определению положительная, то среднее изменение а, не может быть больше среднего уровня

Разность абсолютных изменений за последовательные периоды равна нулю

Пример 5.6. Приведем расчет линейного тренда во временном ряду показателя обеспеченности жильем населения на коней года в Российской Федерации с 2000 по 2006 г. (табл. А).

Таблица А

Показатели обеспеченности жильем в Российской Федерации на конец года (м2 на 1 человека)

JeMO 5. Временные ряды. Основные типы трендов

Определим цепные величины абсолютного прироста для выявления колеблемости временнбго ряда (табл. Б и рис. 5.2).

На графике изобразим фактическую обеспеченность жильем с целью графического выявления тренда.

Обеспеченность жильем, мг

Голы

Рис. 5.2. Динамика обеспеченности населения жильем на конец года в Российской Федерации

Из табл. Б и рис. 5.2 видно, что обеспеченность жильем имеет устойчивую тенденцию к росту с близкими к равным измене

ниями. Средний абсолютный прирост имеет положительную величину, разность абсолютных изменений за последовательные периоды приближается к нулю. Следовательно, для показателя обеспеченности жильем на конец года в Российской Федерации можно использовать линейную функцию уг = аа — я, • /. Для расчета параметров д0, а, используем данные табл. В.

Система нормальных уравнений имеет вид:

у, = 20,2+ 0,4-г.

[700 = 141,4 к = 20,2 |28а,=9,8 ^[а^ОА

Таким образом, обеспеченность жильем за семь лет возрастала в среднем за год на 0,4 м2.

В табл. В приведены теоретические значения уравнения тренда для расчета отклонений фактического уровня ряда от теоретического.

Ошибку репрезентативности коэффициента линейного тренда определим по формуле

о2 =

о,

08

0,0114;

0 = ^/0,0114 =0,1068

м

Таким образом, среднее квадратическое отклонение достаточно мало.

Параболический тренд

Параболический тренд обычно выражается полиномом II порядка, уравнение которого имеет следующий вид:

Уравнение параболы (параболический тренд)

> = д„ + а, / +а2 V

Значения параметров параболы II порядка такие же, как и в уравнении прямой, кроме аг а2.

Значения параметров уравнения параболы

Тренд в форме параболы II порядка применяют для отражения тенденций динамики, для которых на некотором, обычно непродолжительном, этапе развития свойственно примерно постоянное ускорение абсолютных изменений уровней (рис. 5.3).

5 Эконометрика в схемах и таблицах

2001

2002

2003

2004

2005

Годы

Рис. 5.3. Динамика средних экспортных цен на природный газ по данным платежного баланса Российской Федерации