2.2. модели, в которых некоторые объясняющие переменные коррелированы с ошибкой

2.2. модели, в которых некоторые объясняющие переменные коррелированы с ошибкой

2.2.1. Модели с ошибками в измерении объясняющих переменных

Рассмотрим модель порождения данных

DGP: y, = a + pz1 + щ, i = 1,...,100, со стохастической объясняющей переменной z, для которой выполнены предположения:

E{ut ) = 0, D(u ) = a2, E(uzt )= 0, так что

E[yzt ) = a + fizi.

Предположим, что значение zi невозможно измерить точно, и в результате измерения вместо истинного значения zi наблюдается значение

xi = zi + vi,

где vi ошибка измерения. Подобное положение может соответствовать, например, ситуации, в которой yi сбережения i -го домохозяйства, а zi располагаемый доход домохозяйства. Пусть при этом выполнены следующие условия:

E{v, ) = 0, D(v, ) = ov2;

случайные величины ui и vi независимы:

случайная величина vi не зависит от истинного значения zi . (Это означает, что истинный уровень располагаемого дохода не дает какой-либо информации о величине и знаке ошибки измерений.)

Выразим zi через xi и подставим xi — vi вместо zi в исходное уравнение. При этом получаем: y, =a + pxi +Є,,

Если в > 0, то хі и єі имеют отрицательную корреляцию; если в < 0, то хі и е{ имеют положительную корреляцию.

Покажем, что оценка наименьших квадратов в не только имеет смещение при конечных n, но и несостоятельна, т.е. даже при неограниченном увеличении количества наблюдений не сходится к истинному значению в по вероятности. С этой целью обратимся к

формуле для в:

n

£ (уг У 1Хг Х)

в=— ;

n

£ (хг Х)2

г=1

подставим в нее выражение для Уг . Получаем:

nn

£ (вхг -вХ + Єг -ёХг Х) £ {Єг ^Ьг Х)

в = — = в + — ,

nn

£ (хг Х)2 £ (хг Х)2

г=1 г=1

так что

p lim в = в + ^тт^г1 = в +

Таким образом, в не стремится по вероятности к в, за исключением случая, когда j = 0, т.е. когда ошибки измерения z t отсутствуют. Если отношение дисперсий (j2 / of мало, то тогда мало и асимптотическое смещение оценки наименьших квадратов; в противном случае асимптотическое смещение оказывается значительным. В примере со сбережениями в > 0, так что склонность к сбережению оказывается недооцененной.