2.5. проверка выполнения условий идентифицируемости структурных уравнений

2.5. проверка выполнения условий идентифицируемости структурных уравнений: Эконометрика для начинающих (Дополнительные главы), Носко Владимир Петрович, 2005 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон В книге рассматриваются методы статистического анализа регрессионных моделей с ограниченной (цензурированной) зависимой переменной, систем одновременных уравнений, панельных данных, а также структурных форм векторных авторегрессий ...

2.5. проверка выполнения условий идентифицируемости структурных уравнений

При рассмотрении условий идентифицируемости отдельных структурных уравнений, входящих в систему одновременных уравнений1, прежде всего предполагается, что переменные, задействованные в системе, подразделяются на три типа:

эндогенные переменные;

экзогенные переменные;

предопределенные переменные.

Значения эндогенных переменных определяются внутри рассматриваемой системы; эндогеннная переменная, входящая в i -е уравнение системы, коррелирована с ошибкой в этом уравнении. Значения экзогенных переменных определяются вне рассматриваемой системы; экзогенные переменные не коррелированы с ошибками во всех уравнениях системы для всех моментов времени. Понятие предопределенной переменной относится к системам, в которых наблюдения производятся в последовательные моменты времени. Значения предопределенных переменных, как и значения эндогенных переменных, определяются внутри системы. Однако значение в момент предопределенной переменной, входящей в i -е уравнение, не должно быть коррелированным со значениями ошибки в этом уравнении, соответствующими моментам t, t +1,... Например, в системе

переменные Qt и Pt эндогенные, а переменная Qt-1 -предопределенная.

Предполагается, что

• система состоит из g уравнений, в каждое из которых

входит хотя бы одна эндогенная переменная;

1 В смысле возможности восстановления коэффициентов структурных уравнений на основании коэффициентов уравнений приведенной формы.

в систему входит g эндогенных переменных;

в систему входит K экзогенных и предопределенных переменных;

• каждое из g уравнений нормировано, так что коэффициент при одной из эндогенных переменных, входящих в уравнение, равен 1. (В последнем примере g = 2, K = 1, уравнения нормированы.)

При выводе условий идентифицируемости можно не различать предопределенные и экзогенные переменные, и мы для краткости будем называть их в контексте проблемы идентифицируемости предопределенными переменными.

Если собрать все эндогенные переменные в левых частях структурных уравнений, то систему одновременных уравнений можно записать в виде:

ГиУп +■■■+7giytg = Ai xti +■ ■■+Дп xtK + un,

1 L

где t = 1, —, n, yt1, — , y g эндогенные переменные, xt1, — , xK предопределенные переменные, ut1, —, utg случайные ошибки.

Заметим, что в этой записи yjt коэффициент при j -й эндогенной

переменной в i -м уравнении, а pj{ коэффициент при j -й

предопределенной переменной в i -м уравнении. (Разумеется, часть коэффициентов в конкретных системах равна нулю.) Заметив, что последнюю запись можно также представить как

уаУи + — + ytg7g1 = хД11 + — + xkPk1 + ut1,

yt1 Y1g + — + ytJ№ = XtAg + — + XtKpKg + Utg ,

обозначим:

Гп

г = 1 ; о

Б:

hi

(yt1, — , ) ,

yt =Уа, — ,ytg), xt =(xa,...,xtK), ut =(ua,...,utg). (Последние три вектора здесь удобнее представлять как векторы-строки.) Тогда система записывается в компактном виде:

ytГ = xtБ + ut, t = 1, к, n . Предполагая невырожденность матрицы Г, так что для этой матрицы существует обратная, умножим обе части последнего уравнения на Г-1; при этом получаем приведенную форму системы:

yt = xtБГ_1 + utг_1 = xtп + wt. Здесь

П = БГ-1

n1g

, Г-1 =(w

ьК1 ... КKgj

так что wtj случайная ошибка в i -м уравнении приведенной формы

в момент t. Выше мы уже фактически использовали представление для получения приведенных форм систем

Qt = a0 + a1Pt + a2Yt + ut,

Q, = bo + bp + ъ2 r, + v,

это

и

Qt a1Pt = ao + ut,

Qi -Pt = bo + b2rt + b3St + vt.

Следует заметить, что даже если векторы ut =(ut1,...,ug),

i = 1, к, n, взаимно независимы и имеют одинаковое g -мерное нормальное распределение с нулевым средним и ковариационной матрицей Е = о21 , где I - единичная матрица, векторы wt = (wt1,..., Wg) могут иметь коррелированные между собой и

неодинаково распределенные компоненты. Однако это не препятствует получению эффективных и несмещенных оценок элементов матрицы П обычным методом наименьших квадратов: достаточно применить этот метод отдельно к каждому уравнению приведенной системы.

Поскольку

К і

K1g

П = ВГ 1

Kg J

2 Как мы увидим ниже в этом разделе (см. Замечание 5) коэффициенты структурной формы могут не восстанавливаться однозначно по одним только коэффициентам приведенной формы и в то же время однозначно восстанавливаться при привлечении дополнительной информации в виде ограничений на элементы ковариационной матрицы ошибок в правых частях уравнений структурной формы и использовании элементов ковариационной матрицы ошибок в правых частях уравнений приведенной формы.

то ПГ = В, и мы использовали это соотношение для восстановления коэффициентов структурных уравнений двух последних систем. Вопрос об идентифицируемости структурной формы это вопрос о возможности однозначного восстановления всех коэффициентов структурной формы, т.е. восстановления матриц Г и В , на основании матрицы П = ВГ-1 . Заметим, что в совокупности матрицы Г и В состоят из g2 + Kg элементов, тогда как в матрице П всего Kg элементов. Это означает, что однозначное восстановление коэффициентов структурной формы по коэффициентам приведенной формы невозможно без использования дополнительной информации в виде невключения в отдельные уравнения тех или иных переменных, нормировки коэффициентов, линейных ограничений на параметры структуры2.

Если нас интересует i -е структурное уравнение, то идентифицируемость этого уравнения означает возможность однозначного восстановления на основании коэффициентов приведенной формы

Г. i -го столбца матрицы Г, который содержит коэффициенты при эндогенных переменных, входящих в i -е структурное уравнение;

Bi i -го столбца матрицы В, который содержит коэффициенты при предопределенных переменных, входящих в i -е структурное уравнение.

При этом по-существу достаточно иметь возможность восстановления Г и В,с точностью до умножения их на один и тот

же числовой множитель: единственность достигается в этом случае указанием правила нормировки, в соответствии с которым коэффициент при определенной эндогенной переменной в i -м структурном уравнении полагается равным 1.

Для дальнейшего удобно использовать матрицу А размера (g + K)х g , составленную из матриц Г и В таким образом, что матрица Г располагается над матрицей B :

А:

Гг 1

В

Коэффициенты при g эндогенных и K предопределенных переменных в i -м структурном уравнении составляют i -й столбец а матрицы А .

Существенным является то обстоятельство, что коэффициенты i -го структурного уравнения не могут быть восстановлены на основании коэффициентов приведенной формы, если в это уравнение входят все (g ) эндогенные и все (K) предопределенные переменные системы.

Поэтому мы будем предполагать далее, что на элементы вектора а помимо нормировочного накладываются еще и некоторые дополнительные однородные линейные ограничения в виде уравнений

ф ,а, = 0,

где Ф;матрица размера Ri х (g + K), Ri количество этих линейных ограничений. Неспецифицированные коэффициенты i -го уравнения определяются по матрице П = ВГ-1 после применения правила нормировки однозначным образом тогда и только тогда, когда выполнено следующее ранговое условие идентифицируемости: rank (Ф, А) = g -1.

(Матрица ФtА имеет Rt строк и g столбцов.)

Пусть А i матрица, получаемая из матрицы А вычеркиванием ее i -го столбца а, так что А = [а : A t ]. Тогда

rank (Ф і А) = rank (Ф, [а, : А , ]) = rank^ а, : Ф, А,), и поскольку Ф,а = 0, то

rank (Ф t А) = rank(0: Ф t А t) = rank(ф t А t). Но матрица Ф;-А( имеет размер Rt x(g -1), и чтобы ее ранг был равен g -1 , во всяком случае необходимо, чтобы выполнялось следующее порядковое условие идентифицируемости i -го структурного уравнения:

R ^ g -1.

Предположим, что все линейные ограничения, накладываемые на элементы столбца аі (помимо условия нормировки) являются исключающими ограничениями (т.е. все они состоят в приравнивании определенных элементов столбца а нулю) и

соответствуют исключению из i -го уравнения g* эндогенных и K* предопределенных переменных. Тогда общее количество исключенных переменных равно g* + K*, и необходимое условие идентифицируемости i -го структурного уравнения принимает вид:

|g*+k;> g -1,1

или

Иначе говоря, количество предопределенных переменных в системе, не включенных в i -е структурное уравнение, должно быть не меньше количества эндогенных переменных, включенных в i -е уравнение, уменьшенного на единицу. Если в левой части i -го структурного уравнения находится единственная эндогенная переменная, то (g gi )-1 есть просто количество эндогенных переменных, включенных в правую часть этого уравнения.

Теперь мы имеем возможность охарактеризовать три ситуации, возникающие при оценивании i -го структурного уравнения:

1. rank (ФіА)< g -1 ^ i -е уравнение неидентифицируемо

(недоопределено);

rank (ФiА) = g -1 и Ri = g -1 ^ i -е уравнение идентифицируемо точно;

rank (ФiА) = g -1 и Rt > g -1 ^ i -е уравнение сверхидентифицируемо (переопределено).

В ситуации 1 просто не выполнено необходимое условие идентифицируемости. В ситуациях 2 и 3 коэффициенты i -го структурного уравнения однозначно восстанавливаются на основании коэффициентов приведенной системы. Однако эти две ситауции различаются существенным образом, если рассматривать задачу восстановления коэффициентов i -го структурного уравнения на основании оценок коэффициентов приведенной формы, полученных методом наименьших квадратов, примененным к каждому отдельному уравнению приведенной системы и не

учитывающем ограничения на коэффициенты приведенной формы, накладываемые на них соотношением П = ВГ-1 . Если П оценка матрицы П, полученная таким свободным оцениванием, то в ситуации 2 коэффициенты i -го структурного уравнения

восстанавливаются по матрице П однозначным образом, тогда как в ситуации 3 существует несколько вариантов такого восстановления, приводящих к различным результатам.

Заметим, что разным уравнениям системы могут

соответствовать разные ситуации из трех перечисленных.

Пробежимся теперь по уже рассмотренным в этом разделе примерам систем одновременных уравнений.

Первой мы рассмотрели систему

список

предопределенных переменных ограничивается переменной, тождественно равной 1, так что полный список переменных в системе: (Qt,Pt,1). При этом g = 2, K = 1, матрицы Г, В и А имеют вид:

Г 1

1 >

, В = (

а

Ь1)

Г 1

1 >

(г ї

=

: а1

ь1

1B)

ч а0

Ь0 )

На столбцы матрицы А не накладывается никаких ограничений

кроме нормировочных, так что g* = g2 = 0 , K* = K2 = 0 , и ни для одного из двух уравнений не выполнено порядковое условие

g2 + K* > g -1. Следовательно система не идентифицируема.

Следующий пример:

Qt = а0 + а1 Pt + а2¥і + Ut,

Q, = b + bp + vt,

т. е.

[Qt 61 Pt = b + vt.

Г

В

1)

Здесь список эндогенных переменных тот же: (Qt,Pt). В список предопределенных переменных входят две переменные: (1,Yt). Полный список переменных в системе: (Qt,Pt,1,Yt). При этом g = 2, K = 2, матрицы Г, В и А имеют вид:

а

b

0

1 1

ча2

A = (а1 а2) =

Подпись: 11 "12 
 а22 = Гг 1
 СХ32

а1 b1 а 2 0 )

На элементы первого столбца матрицы А накладывается только условие нормировки а11 = 1. Поэтому первое уравнение системы неидентифицируемо. На элементы второго столбца помимо нормировочного накладывается одно исключающее ограничение а42 = 0, так что для этого столбца g 2 = 0, K2 = 1, и g22 + K22 = g -1 =1, т.е. порядковое условие идентифицируемости выполняется.

Заметим далее, что ограничение (х42 = 0 можно записать в виде Ф2а2 = 0 , где Ф2 =(0 0 0 1). Тогда

Ф 2 А 2 =

(0 0 0 a0, a2 f ={аг),

гапк(ф 2 А) = гапк(ф 2 А 2) = rank(a2) = 1,

так что гапк(ф2А) = g — 1 и выполнено ранговое условие

идентифицируемости. Наконец, поскольку g2 + K2 = g — 1, то второе уравнение идентифицируемо точно.

Следующая система:

iQt = а0 + aiPt + a2Yt + Ut,

[Q, = b0 + bi Pt + b2 Rt + vt,

т. е.

lQ, — aiP, = a0 + a2Y, + U, ,

[Q, — bi Pt = b0 + b2 Rt + vt. Список эндогенных переменных: (Qt, Pt). Список предопределенных переменных: (l,Yt,Rt). Полный список переменных в системе: (Qt,Pt,1,Yt,Rt). При этом g = 2, K = 3, матрицы Г, В и А имеют вид:

Г

1

a

1J

1 Ї

—b

В

0

b0 > 0

2J

2

0 b

1

1

А:

(г 1

0

a

a

b

0

a

2

0

0

b

2J

Соответственно, здесь для каждого из столбцов матрицы А помимо нормирующего ограничения имеется по одному исключающему ограничению на экзогенные переменные, так что g1 = g2 = 0, К = К 2 = 1, g* + K* = g -1, и порядковое условие выполнено.

Ограничение а41 = 0 в первом столбце можно записать в виде Ф1а1 = 0, где Ф1 =(0 0 0 0 1). Тогда

ФА =(0 0 0 0 1)(1, - ъ0,0, ъ2 )т =(ъ2),

rank (Ф1 А) = гапк(Ф1 А1) = rank(b2) = 1, так что rank (Ф1А) = g — 1 и для первого уравнения выполнено ранговое условие идентфицируемости. Наконец, поскольку g* + К* = g — 1, то первое уравнение идентифицируемо точно.

Ограничение а32 = 0 во втором столбце можно записать в виде Ф2а2 = 0, где Ф2 =(0 0 0 1 0). Тогда

Ф2А2 =(0 0 0 1 0)(1, — а1, а0, а2,0)г =(а2),

rank (Ф2А) = гапк(Ф2А2) = rank(a2) = 1, так что rank (Ф2А)= g —1 и для второго уравнения также выполнено ранговое условие идентифицируемости. Наконец, поскольку g2 + К2 = g — 1, то второе уравнение идентифицируемо точно.

Таким образом в данной системе одновременных уравнений оба уравнения идентифицируемы, причем идентифицируемы точно.

Наконец, в системе

Qt = a0+a1pt+ut,

т. е.

JQt — a1Pt = a0 + Ut,

Qi — b,P( = b0 + b2 Rt + + vt,

эндогенные переменные те же, а список предопределенных переменных: (1, Rt,St). Полный список переменных в системе:

(Qt,Pt,1,Rt,St). При этом g = 2, K = 3, матрицы Г, Б и А имеют вид:

Подпись: 1

Подпись: 1
Г:

( г,

А=іГ j

1

"a1

2

Ъ

ao 0 0

1

-Ъ1

Ъ0

Ъ

3 j

На элементы второго столбца накладывается только условие нормировки. Поэтому второе уравнение системы неидентифицируемо. На элементы первого столбца помимо условия нормировки накладываются два исключающих ограничения: а41 = 0, а51 = 0 . При этом g* = 0, К = 2, g* + K* = 2 > g -1, так что первое уравнение идентифицируемо. Исключающие ограничения можно записать в форме Ф1а1 = 0, где

Ф1 =

(0 0 0 1 0Л 0 0 0 0 1

Тогда

Ф1А

(0 0 0 1 0Л 0 0 0 0 1

(

1

a1

2

0 0

1 Л

Ъ

Ъ0

Ъ

3j

( 0 Ъ2 Л 0 Ъз j

Ф1А1 =

(0 0 0 1 0 0 0 0

0 Л

(1, Ъ1, Ъo,К Ъ3 Ї =

( ъ2 Л

Подпись: (ъ2 Л
V b3 у
rank (Ф1А) = гапк(Ф1А1) = rank!

= 1,

так что rank (Ф1А) = g — 1 и для первого уравнения выполнено ранговое условие идентифицируемости. Поскольку g* + K1 > g — 1, то первое уравнение сверхидентифицируемо.

Приведем теперь пример системы, в которой присутствуют линейные ограничения неисключающего типа (упрощенный вариант модели мультипликатора-акселератора):

Ct = a0 + a1Yt + a2Ct—1 + "fl,

It = bo + b1 (Yt — Yt—1) + "t 2, Yt = C + It,

где Ct потребление, It инвестиции, Yt доход. Подставляя выражение для Yt из последнего тождества во второе уравнение, запишем систему в виде:

| Ct — a1Yt = a0 + a2Ct—1 + "t^ [— С, +(1 — b X = b0 — bJ—1 + "2.

Список эндогенных переменных: (Ct, Yt). Список предопределенных переменных: (1, Ct—1, Yt—1). Полный список: (Ct, Yt ,1, Ct—1,Yt—1). Матрица А: ( 1

— a1

— 1 Ї

А

a

0

1 — b1

a

2

b0

0

0

—b1

В первом столбце одно исключающее ограничение а51 = 0, т.е. Ф1а1 = 0, где Ф1 = (0 0 0 0 1). При этом

rank (Ф1А) = гапк(Ф1 А1) = rank(b1) = 1 = g -1, так что первое уравнение идентифицируемо. Поскольку

g;+к; = 1=g -1,

это уравнение идентифицируемо точно.

Во втором столбце одно исключающее ограничение а42 = 0 и одно неисключающее ограничение а12 +а22 = а52. Эту пару ограничений можно записать в виде Ф2а2 = 0, где

Ф2 =

( 0

1

0 ї

1

Тогда

Ф2А

(0

1

0 ї 0

rank (Ф2А) = 1,

так что rank (Ф2А) = g -1 и для второго уравнения также выполнено ранговое условие идентифицируемости. Поскольку же R2 = 2 > g -1, то второе уравнение сверхидентифицируемо.

З а м е ч а н и е 1

Константа играет в проблеме идентифицируемости такую же роль, что и остальные предопределенные переменные. Это илюстрирует следующий пример.

Мы уже выяснили ранее, что в системе

Qt = a0+a1pt + ut, jo = b0 + bP + vt

оба уравнения неидентифицируемы. Исключим константу из правой части второго уравнения:

lQt = a0 + a1Pt + ut,

[Q, = bp + vt.

Для измененной системы имеем те же списки эндогенных и предопределенных переменных; полный список переменных в системе: (Qt,Pt, 1). При этом g = 2, K = 1, матрица Г не изменяется, а матрицы В и А принимают вид:

На первый столбец матрицы А не накладывается никаких ограничений кроме нормировочных, так что g* = 0, K* = 0, и для первого уравнения не выполнено порядковое условие g* + K* > g -1. Следовательно первое уравнение не идентифицируемо. Однако на второй столбец на этот раз накладывается исключающее ограничение а32 = 0, т.е. Ф 2а2 = 0, где Ф 2 =(0 0 1).

При этом

rank (Ф 2А) = rank(a0 0) = гапк(Ф2 А1) = (a0) = 1 = g -1, так что второе уравнение идентифицируемо. Поскольку

g;+ к 2= 1 = g -1,

это уравнение идентифицируемо точно.

З а м е ч а н и е 2

Критерий идентифицируемости дает один и тот же результат в

отношении i -го стохастического структурного уравнения

(содержащего случайные ошибки в правой части) независимо от

того, рассматривается полная система вместе с тождествами или

система, в которой тождества учтены и исключены. Это илюстрирует следующий пример.

При исследовании вопроса об идентифицируемости модели Qd = a0 + a1P + ut,

Qs = bo + biP+vt, Qs = Qd

и различных ее расширений мы, исключая (и учитывая) тождество,

сводили эти модели к системам без тождеств, так что в правых

частях всех уравнений преобразованных систем присутствовали случайные ошибки. Поступая, например, таким образом с системой трех уравнений

Qd = a0 + aiPt + a2Yt + Ut,

<Qst = bo + bp + vt,

t

t

мы проверяли условия идентифицируемости системы двух уравнений, полученных на основании этой системы:

и обнаружили, что первое уравнение системы неидентифицируемо, а второе идентифицируемо точно.

Попоробуем проверить условия идентифицируемости непосредственно в рамках исходной системы трех уравнений, так что g = 3. Для этой системы список эндогенных переменных

полнее, чем у преобразованной системы: Qf, Qf,Pt), тогда как

список предопределенных переменных (l, Yt) не изменяется. Полный список содержит теперь 5 переменных: Qf, Qst, Pt ,1, Yt). Перенесем все эндогенные переменные в левые части уравнений:

= a0 + a2Yt + ut,

Qf q:=o,

Матрица А имеет вид:

0

А

( 1 0

a

a

V «2 0 1

bi

b0

0 1 Ї

-1 0 0 0

На элементы первого столбца накладывается исключающее

:0, т.е. Ф1#1 = 0, где Ф1 =(0 1 0 0 0). При

#21

ограничение этом

rank (Ф1А) = rank(0 1 -1) = 1 < g -1 = 2, так что первое уравнение неидентифицируемо. На элементы второго столбца накладывается А^2 = 2 исключающих ограничения:

:0 и #52 = 0, т.е. Ф2#2 = 0, где

Ф2 =

(1

0

000 000

0 Ї

1

При этом

Подпись: 1
Подпись: V «2(

rank (Ф2А) = rank!

1 ї

0

2=g-1,

так что

второе

уравнение идентифицируемо, причем

идентифицируемо точно, поскольку g 2 + А^2 = 2 = g -1. Результаты в отношении каждого из двух стохастических уравнений оказались одинаковыми для систем из трех и из двух уравнений.

До сих пор мы рассматривали только возможность восстановления коэффициентов структурных уравнений по коэффициентам приведенной формы. Однако идентифицируемость i -го стохастического структурного уравнения строго говоря означает не только идентифицируемость коэффициентов этого уравнения, но и идентифицируемость дисперсии случайной составляющей в этом уравнении. Идентифицируемость системы структурных уравнений в целом (на основании приведенной формы системы) означает не только идентифицируемость всех коэффициентов системы, но и идентифицируемость ковариационной матрицы случайных ошибок, входящих в правые части уравнений системы. При этом при восстановлении коэффициентов и ковариационной матрицы ошибок в структурной форме используются не только коэффициенты приведенной формы, но и ковариационная матрица ошибок в приведенной форме.

Обратимся опять к общей форме системы:

ytY = xtB + ut, t = n,

где

gl

Г :

ig

Ги ••• Y

gg j

в=1 m

An

Kg j

yt ={ytl,•■■,ytg), xt =(xtl,•■■,XK), ut =(Ut1,K,ug) и предполагается невырожденность матрицы Г . Приведенная форма

системы:

yt = xtвГ_1 + utГ_1 = xtn+wt,

где

П = ВГ 1

n1g

w

= ut Г-1 =(wt 1,..., wg ).

Kg J

Пусть

E(ut ) = 0 , Cov(uTut) = (fov(utl, J = I = {(Jj),

Cov(uJus) = (Cov(uti, usj)) = 0 для t Ф s .

так что ошибки не коррелированы по времени, но для одного и того же момента времени ошибки в разных уравнениях могут быть коррелированными между собой. Тогда E (wt ) = 0 и для

ковариационной матрицы Q = ((0у ) = Cov(wTtwt )=(Cov(wtl, ))

вектора wt ошибок в приведенном уравнении имеем:

Q = Cov(wt) = Cov(utГ-1) = (Г-1) I (Г-1),

так что

I = Гт.

Следовательно, если структурная система идентифицируема

(коэффициенты структурной системы однозначно

восстанавливаются по коэффициентам приведенной формы), то тогда, восстановив по коэффициентам приведенной формы матрицу Г , можно, используя эти восстановленные коэффициенты и матрицу Q, восстановить ковариационную матрицу I.

Если структурная форма не восстанавливается целиком, а возможно лишь восстановление некоторых ее уравнений, то тогда для полной идентификации i -го стохастического структурного уравнения надо восстановить все его коэффициенты и дисперсию случайной составляющей этого уравнения. Пусть нас интересует,

y1g

например, первое уравнение системы. Представим тогда матрицу Г в виде

(у у Л (У Л (у " Л

/11 ■■■ fig /11 /12 ■■■

у

у

Г = : O : = [у : Г ], где у = : Г = : O

gg j

Дисперсия случайной составляющей в первом структурном уравнении равна с11 =у[0.у1, так что для ее восстановления по приведенной форме достаточно предварительно восстановить только коэффициенты первого уравнения. Аналогично, если нас интересует i -е стохастическое структурное уравнение, то дисперсия случайной составляющей в этом структурном уравнении равна аи = уУQ у , где у i -й столбец матрицы Г, и для восстановления <Уй достаточно предварительно восстановить коэффициенты i -го уравнения.

В качестве примера рассмотрим опять структурную систему

{Qt = a0 + a1Pt + a2Yt + Ut,

la=ь0+bp+vt.

у2

Мы установили ранее, что в этой системе коэффициенты первого уравнения неидентифицируемы, а коэффициенты второго идентифицируемы точно. Для этой системы

a

( 1 1 Л ( 1 Л

Г

b

1 j

I b1 j

так что (поскольку ковариационные матрицы симметричны)

®2.

С02

22 jV

-b

1j

= а>11 2b1a12 + b^a2:

Оценив наряду с коэффициентами приведенной формы элементы ковариационной матрицы ошибок приведенной формы, можно получить оценку для коэффициента b1, а через нее и оценку для

D(vt).

З а м е ч а н и е 3

Если посмотреть на все примеры, в которых на уравнения накладывались только исключающие ограничения, то нетрудно заметить, что проверку рангового условия идентифицируемости i -го стохастического структурного уравнения по-существу можно проводить следующим образом.

Составляется таблица, в заголовке которой перечисляются эндогенные и предопределенные переменные, задействованные в системе, а в i -й строке находятся коэффициенты при этих переменных в левой и правой частях i -го уравнения (как они есть, без переносов в левую часть). Например, для системы

(Qt = а0 + ai Pt + a + ut,

Qi = b0 + bi Pt + b2 Rt + vt такая таблица принимает вид:

i

a

1

Rt

1

1

a2

0

2 1 b0 b0

0

b2

Для исследования i -го уравнения достаточно рассмотреть матрицу, образованную теми столбцами таблицы, элементы которых, стоящие в i -й строке, равны нулю, и всеми строками таблицы кроме i -й. В рассматриваемом примере при исследовании 1-го уравнения такая матрица состоит из единственного элемента b2, а при исследовании 2-го уравнения из единственного элемента a2 . В обоих случаях ранг выделенной матрицы равен 1, и поскольку g — 1 = 1, оба уравнения идентифицируемы.

Подпись: Для системы
Для второго уравнения нет ни исключающих, ни других линейных ограничений только нормирующее ограничение, так что второе уравнение нединтифицируемо. На коэффициенты первого уравнения помимо нормирующего накладываются только исключающие ограничения. Выделяемая матрица сводится к одной строке с двумя элементами: (b2 b3). Ранг этой матрицы равен 1, так что g -1 = 1 и первое уравнение идентифицируемо.

З а м е ч а н и е 4

В реальных ситуациях если порядковое условие выполнено, то, как правило, выполняется и ранговое условие. Приводимые в литературе контрпримеры носят явно искусственный характер. В качестве такого контрпримера выступает, например, система трех стохастических структурных уравнений

a11yt1 + a12 yt 2 + a13 yt 3 = a14 Xt1 + a15 Xt 2 + Ut1, j a21yt1 + a22yt2 + a23yt3 = a24Xt1 + a25Xt2 + Ut2, _ a31yt1 + a32 yt 2 + a33 yt3 = a34 Xt1 + a35 Xt 2 + Ut3,

в которой на коэффициенты первого уравнения накладываются линейные ограничения a14 = 0, a12 = a13. Эти ограничения записываются в стандартной форме как = 0 , где (0 0 0 1 0^ 1 V0 1 -10 0 у так что

Подпись: 24Подпись: 24Подпись: 34Подпись: aПодпись: aПодпись: aПодпись: a

Ф1 Л:

14

V a12 a13

a22 a23

34

a32 a33 j

a

( 0 0

a22 a23

a32 a33 j

Ранговое условие не выполняется, если строки этой матрицы пропорциональны. Последнее может осуществляться

если на уравнения системы накладываются одинаковые ограничения;

если переменная xt1 не входит в систему;

если коэффициенты при yt 2 и yt3 равны во всех уравнениях.

З а м е ч а н и е 5

До сих пор мы не предполагали никаких ограничений на ковариационную матрицу Е вектора ошибок в структурной форме. Между тем введение ограничений на структуру этой матрицы в некоторых ситуациях может помочь идентификации уравнений, которые без таких ограничений неидентифицируемы. В качестве примера рассмотрим систему

[Qt = a1Pt + a2Qt-1 + Щи Pt = b1Qt-1 + ut 2.

Здесь Pt и Qt эндогенные переменные, а единственной предопределенной переменной является Qt-1. При этом

(1 1Ї

Г:

0

a

так что соотношение ПГ

(1 1Ї

В = (a2 Ь1 ), П = (П11 П12 ),

(п11 П12)

= В принимает вид:

0

a.

(a2 Ь1 ),

откуда

(л-ц an Пц )=(a2 61), т.е.

a2 =п, a1n.

b1 =П11

Таким образом, единственный коэффициент второго уравнения восстанавливается по матрице П однозначно, а для восстановления двух коэффициентов первого уравнения имеется только одно уравнение, и первое уравнение оказывается неидентифицируемым.

Вспомним, однако соотношение между ковариационными матрицами ошибок в приведенной и структурной формах:

I = ГтQT . В нашем примере оно принимает вид:

Подпись: <*112

V^21 °22 J

(1 1

a

0

V

J°21

О22 JV"

1

а

1 ї

0

_ щ1 2а1щ2 + а1а>22 щ1 а1ю2

Если предположить дополнительно, что <У12 =о21 = 0, т.е. ошибки в разных уравнениях не коррелированы между собой, то из последнего соотношения получаем: щ1 а1о21 = 0,

так что

коэффициент

а

первого структурного уравнения

Подпись: а1 = °и! О21Подпись: матрице Q: коэффициентПодпись: После этого структурного

a

восстанавливается по восстанавливается и

первого

уравнения: а2 =п11 а1п12. Тем самым оказывается идентифицируемым все первое уравнение структурной формы.

З а м е ч а н и е 6

Рассмотренная в Замечании 5 система

Qt = ар+а2<2+ u^

Pt = b1Qt-1 + Ut 2

Подпись: 0Подпись: принадлежит классупри выполнении условия <J12 = <J21 рекурсивных систем. Благодаря последовательному определению переменных в таких системах при переходе от уравнения к уравнению в правых частях каждого из уравнений системы не оказывается переменных, значения которых коррелированы со значением ошибки в этом уравнении при одном и том же t . Во втором уравнении рассматриваемой системы Cov(Qt-1, ut 2 ) = 0, т. к. значение Qt-1 определяется ранее момента t . В правой части первого уравнения Cov(Qt-1, ut1) = 0 по той же причине и

Cov(Pt,ut1 ) = Cov(b1Qt-1 + ut2 ) = b1Cov(Qt-1, ut1 )+ Cov(ut2,ut1 ) = 0,

так что при выполнении условия <т12 = <т21 = 0 переменная Pt не является эндогенной. Если же <т12 Ф 0, то Pt становится эндогенной переменной, а система перестает быть рекурсивной.

Эконометрика для начинающих (Дополнительные главы)

Эконометрика для начинающих (Дополнительные главы)

Обсуждение Эконометрика для начинающих (Дополнительные главы)

Комментарии, рецензии и отзывы

2.5. проверка выполнения условий идентифицируемости структурных уравнений: Эконометрика для начинающих (Дополнительные главы), Носко Владимир Петрович, 2005 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон В книге рассматриваются методы статистического анализа регрессионных моделей с ограниченной (цензурированной) зависимой переменной, систем одновременных уравнений, панельных данных, а также структурных форм векторных авторегрессий ...