2.5. проверка выполнения условий идентифицируемости структурных уравнений
2.5. проверка выполнения условий идентифицируемости структурных уравнений
При рассмотрении условий идентифицируемости отдельных структурных уравнений, входящих в систему одновременных уравнений1, прежде всего предполагается, что переменные, задействованные в системе, подразделяются на три типа:
эндогенные переменные;
экзогенные переменные;
предопределенные переменные.
Значения эндогенных переменных определяются внутри рассматриваемой системы; эндогеннная переменная, входящая в i -е уравнение системы, коррелирована с ошибкой в этом уравнении. Значения экзогенных переменных определяются вне рассматриваемой системы; экзогенные переменные не коррелированы с ошибками во всех уравнениях системы для всех моментов времени. Понятие предопределенной переменной относится к системам, в которых наблюдения производятся в последовательные моменты времени. Значения предопределенных переменных, как и значения эндогенных переменных, определяются внутри системы. Однако значение в момент предопределенной переменной, входящей в i -е уравнение, не должно быть коррелированным со значениями ошибки в этом уравнении, соответствующими моментам t, t +1,... Например, в системе
переменные Qt и Pt эндогенные, а переменная Qt-1 -предопределенная.
Предполагается, что
• система состоит из g уравнений, в каждое из которых
входит хотя бы одна эндогенная переменная;
1 В смысле возможности восстановления коэффициентов структурных уравнений на основании коэффициентов уравнений приведенной формы.
в систему входит g эндогенных переменных;
в систему входит K экзогенных и предопределенных переменных;
• каждое из g уравнений нормировано, так что коэффициент при одной из эндогенных переменных, входящих в уравнение, равен 1. (В последнем примере g = 2, K = 1, уравнения нормированы.)
При выводе условий идентифицируемости можно не различать предопределенные и экзогенные переменные, и мы для краткости будем называть их в контексте проблемы идентифицируемости предопределенными переменными.
Если собрать все эндогенные переменные в левых частях структурных уравнений, то систему одновременных уравнений можно записать в виде:
ГиУп +■■■+7giytg = Ai xti +■ ■■+Дп xtK + un,
1 L
где t = 1, —, n, yt1, — , y g эндогенные переменные, xt1, — , xK предопределенные переменные, ut1, —, utg случайные ошибки.
Заметим, что в этой записи yjt коэффициент при j -й эндогенной
переменной в i -м уравнении, а pj{ коэффициент при j -й
предопределенной переменной в i -м уравнении. (Разумеется, часть коэффициентов в конкретных системах равна нулю.) Заметив, что последнюю запись можно также представить как
уаУи + — + ytg7g1 = хД11 + — + xkPk1 + ut1,
yt1 Y1g + — + ytJ№ = XtAg + — + XtKpKg + Utg ,
обозначим:
Гп
г = 1 ; о
Б:
hi
(yt1, — , ) ,
yt =Уа, — ,ytg), xt =(xa,...,xtK), ut =(ua,...,utg). (Последние три вектора здесь удобнее представлять как векторы-строки.) Тогда система записывается в компактном виде:
ytГ = xtБ + ut, t = 1, к, n . Предполагая невырожденность матрицы Г, так что для этой матрицы существует обратная, умножим обе части последнего уравнения на Г-1; при этом получаем приведенную форму системы:
yt = xtБГ_1 + utг_1 = xtп + wt. Здесь
П = БГ-1
n1g
, Г-1 =(w
ьК1 ... КKgj
так что wtj случайная ошибка в i -м уравнении приведенной формы
в момент t. Выше мы уже фактически использовали представление для получения приведенных форм систем
Qt = a0 + a1Pt + a2Yt + ut,
Q, = bo + bp + ъ2 r, + v,
это
и
Qt a1Pt = ao + ut,
Qi -Pt = bo + b2rt + b3St + vt.
Следует заметить, что даже если векторы ut =(ut1,...,ug),
i = 1, к, n, взаимно независимы и имеют одинаковое g -мерное нормальное распределение с нулевым средним и ковариационной матрицей Е = о21 , где I - единичная матрица, векторы wt = (wt1,..., Wg) могут иметь коррелированные между собой и
неодинаково распределенные компоненты. Однако это не препятствует получению эффективных и несмещенных оценок элементов матрицы П обычным методом наименьших квадратов: достаточно применить этот метод отдельно к каждому уравнению приведенной системы.
Поскольку
К і
K1g
П = ВГ 1
Kg J
2 Как мы увидим ниже в этом разделе (см. Замечание 5) коэффициенты структурной формы могут не восстанавливаться однозначно по одним только коэффициентам приведенной формы и в то же время однозначно восстанавливаться при привлечении дополнительной информации в виде ограничений на элементы ковариационной матрицы ошибок в правых частях уравнений структурной формы и использовании элементов ковариационной матрицы ошибок в правых частях уравнений приведенной формы.
то ПГ = В, и мы использовали это соотношение для восстановления коэффициентов структурных уравнений двух последних систем. Вопрос об идентифицируемости структурной формы это вопрос о возможности однозначного восстановления всех коэффициентов структурной формы, т.е. восстановления матриц Г и В , на основании матрицы П = ВГ-1 . Заметим, что в совокупности матрицы Г и В состоят из g2 + Kg элементов, тогда как в матрице П всего Kg элементов. Это означает, что однозначное восстановление коэффициентов структурной формы по коэффициентам приведенной формы невозможно без использования дополнительной информации в виде невключения в отдельные уравнения тех или иных переменных, нормировки коэффициентов, линейных ограничений на параметры структуры2.
Если нас интересует i -е структурное уравнение, то идентифицируемость этого уравнения означает возможность однозначного восстановления на основании коэффициентов приведенной формы
Г. i -го столбца матрицы Г, который содержит коэффициенты при эндогенных переменных, входящих в i -е структурное уравнение;
Bi i -го столбца матрицы В, который содержит коэффициенты при предопределенных переменных, входящих в i -е структурное уравнение.
При этом по-существу достаточно иметь возможность восстановления Г и В,с точностью до умножения их на один и тот
же числовой множитель: единственность достигается в этом случае указанием правила нормировки, в соответствии с которым коэффициент при определенной эндогенной переменной в i -м структурном уравнении полагается равным 1.
Для дальнейшего удобно использовать матрицу А размера (g + K)х g , составленную из матриц Г и В таким образом, что матрица Г располагается над матрицей B :
А:
Гг 1
В
Коэффициенты при g эндогенных и K предопределенных переменных в i -м структурном уравнении составляют i -й столбец а матрицы А .
Существенным является то обстоятельство, что коэффициенты i -го структурного уравнения не могут быть восстановлены на основании коэффициентов приведенной формы, если в это уравнение входят все (g ) эндогенные и все (K) предопределенные переменные системы.
Поэтому мы будем предполагать далее, что на элементы вектора а помимо нормировочного накладываются еще и некоторые дополнительные однородные линейные ограничения в виде уравнений
ф ,а, = 0,
где Ф;матрица размера Ri х (g + K), Ri количество этих линейных ограничений. Неспецифицированные коэффициенты i -го уравнения определяются по матрице П = ВГ-1 после применения правила нормировки однозначным образом тогда и только тогда, когда выполнено следующее ранговое условие идентифицируемости: rank (Ф, А) = g -1.
(Матрица ФtА имеет Rt строк и g столбцов.)
Пусть А i матрица, получаемая из матрицы А вычеркиванием ее i -го столбца а, так что А = [а : A t ]. Тогда
rank (Ф і А) = rank (Ф, [а, : А , ]) = rank^ а, : Ф, А,), и поскольку Ф,а = 0, то
rank (Ф t А) = rank(0: Ф t А t) = rank(ф t А t). Но матрица Ф;-А( имеет размер Rt x(g -1), и чтобы ее ранг был равен g -1 , во всяком случае необходимо, чтобы выполнялось следующее порядковое условие идентифицируемости i -го структурного уравнения:
R ^ g -1.
Предположим, что все линейные ограничения, накладываемые на элементы столбца аі (помимо условия нормировки) являются исключающими ограничениями (т.е. все они состоят в приравнивании определенных элементов столбца а нулю) и
соответствуют исключению из i -го уравнения g* эндогенных и K* предопределенных переменных. Тогда общее количество исключенных переменных равно g* + K*, и необходимое условие идентифицируемости i -го структурного уравнения принимает вид:
|g*+k;> g -1,1
или
Иначе говоря, количество предопределенных переменных в системе, не включенных в i -е структурное уравнение, должно быть не меньше количества эндогенных переменных, включенных в i -е уравнение, уменьшенного на единицу. Если в левой части i -го структурного уравнения находится единственная эндогенная переменная, то (g gi )-1 есть просто количество эндогенных переменных, включенных в правую часть этого уравнения.
Теперь мы имеем возможность охарактеризовать три ситуации, возникающие при оценивании i -го структурного уравнения:
1. rank (ФіА)< g -1 ^ i -е уравнение неидентифицируемо
(недоопределено);
rank (ФiА) = g -1 и Ri = g -1 ^ i -е уравнение идентифицируемо точно;
rank (ФiА) = g -1 и Rt > g -1 ^ i -е уравнение сверхидентифицируемо (переопределено).
В ситуации 1 просто не выполнено необходимое условие идентифицируемости. В ситуациях 2 и 3 коэффициенты i -го структурного уравнения однозначно восстанавливаются на основании коэффициентов приведенной системы. Однако эти две ситауции различаются существенным образом, если рассматривать задачу восстановления коэффициентов i -го структурного уравнения на основании оценок коэффициентов приведенной формы, полученных методом наименьших квадратов, примененным к каждому отдельному уравнению приведенной системы и не
учитывающем ограничения на коэффициенты приведенной формы, накладываемые на них соотношением П = ВГ-1 . Если П оценка матрицы П, полученная таким свободным оцениванием, то в ситуации 2 коэффициенты i -го структурного уравнения
восстанавливаются по матрице П однозначным образом, тогда как в ситуации 3 существует несколько вариантов такого восстановления, приводящих к различным результатам.
Заметим, что разным уравнениям системы могут
соответствовать разные ситуации из трех перечисленных.
Пробежимся теперь по уже рассмотренным в этом разделе примерам систем одновременных уравнений.
Первой мы рассмотрели систему
список
предопределенных переменных ограничивается переменной, тождественно равной 1, так что полный список переменных в системе: (Qt,Pt,1). При этом g = 2, K = 1, матрицы Г, В и А имеют вид:
Г 1 | 1 > | ||
, В = ( | а | ||
Ь1) | |||
Г 1 | 1 > | ||
(г ї | |||
= | : а1 | ь1 | |
1B) | ч а0 | Ь0 ) |
На столбцы матрицы А не накладывается никаких ограничений
кроме нормировочных, так что g* = g2 = 0 , K* = K2 = 0 , и ни для одного из двух уравнений не выполнено порядковое условие
g2 + K* > g -1. Следовательно система не идентифицируема.
Следующий пример:
Qt = а0 + а1 Pt + а2¥і + Ut,
Q, = b + bp + vt,
т. е.
[Qt 61 Pt = b + vt.
Г
В
1)
Здесь список эндогенных переменных тот же: (Qt,Pt). В список предопределенных переменных входят две переменные: (1,Yt). Полный список переменных в системе: (Qt,Pt,1,Yt). При этом g = 2, K = 2, матрицы Г, В и А имеют вид:
а
b
0
1 1
ча2
A = (а1 а2) =
а1 b1 а 2 0 )
На элементы первого столбца матрицы А накладывается только условие нормировки а11 = 1. Поэтому первое уравнение системы неидентифицируемо. На элементы второго столбца помимо нормировочного накладывается одно исключающее ограничение а42 = 0, так что для этого столбца g 2 = 0, K2 = 1, и g22 + K22 = g -1 =1, т.е. порядковое условие идентифицируемости выполняется.
Заметим далее, что ограничение (х42 = 0 можно записать в виде Ф2а2 = 0 , где Ф2 =(0 0 0 1). Тогда
Ф 2 А 2 =
(0 0 0 a0, a2 f ={аг),
гапк(ф 2 А) = гапк(ф 2 А 2) = rank(a2) = 1,
так что гапк(ф2А) = g — 1 и выполнено ранговое условие
идентифицируемости. Наконец, поскольку g2 + K2 = g — 1, то второе уравнение идентифицируемо точно.
Следующая система:
iQt = а0 + aiPt + a2Yt + Ut,
[Q, = b0 + bi Pt + b2 Rt + vt,
т. е.
lQ, — aiP, = a0 + a2Y, + U, ,
[Q, — bi Pt = b0 + b2 Rt + vt. Список эндогенных переменных: (Qt, Pt). Список предопределенных переменных: (l,Yt,Rt). Полный список переменных в системе: (Qt,Pt,1,Yt,Rt). При этом g = 2, K = 3, матрицы Г, В и А имеют вид:
Г
1
a
1J
1 Ї
—b
В
0
b0 > 0
2J
2
0 b
1
1
А:
(г 1
0
a
a
b
0
a
2
0
0
b
2J
Соответственно, здесь для каждого из столбцов матрицы А помимо нормирующего ограничения имеется по одному исключающему ограничению на экзогенные переменные, так что g1 = g2 = 0, К = К 2 = 1, g* + K* = g -1, и порядковое условие выполнено.
Ограничение а41 = 0 в первом столбце можно записать в виде Ф1а1 = 0, где Ф1 =(0 0 0 0 1). Тогда
ФА =(0 0 0 0 1)(1, - ъ0,0, ъ2 )т =(ъ2),
rank (Ф1 А) = гапк(Ф1 А1) = rank(b2) = 1, так что rank (Ф1А) = g — 1 и для первого уравнения выполнено ранговое условие идентфицируемости. Наконец, поскольку g* + К* = g — 1, то первое уравнение идентифицируемо точно.
Ограничение а32 = 0 во втором столбце можно записать в виде Ф2а2 = 0, где Ф2 =(0 0 0 1 0). Тогда
Ф2А2 =(0 0 0 1 0)(1, — а1, а0, а2,0)г =(а2),
rank (Ф2А) = гапк(Ф2А2) = rank(a2) = 1, так что rank (Ф2А)= g —1 и для второго уравнения также выполнено ранговое условие идентифицируемости. Наконец, поскольку g2 + К2 = g — 1, то второе уравнение идентифицируемо точно.
Таким образом в данной системе одновременных уравнений оба уравнения идентифицируемы, причем идентифицируемы точно.
Наконец, в системе
Qt = a0+a1pt+ut,
т. е.
JQt — a1Pt = a0 + Ut,
Qi — b,P( = b0 + b2 Rt + + vt,
эндогенные переменные те же, а список предопределенных переменных: (1, Rt,St). Полный список переменных в системе:
(Qt,Pt,1,Rt,St). При этом g = 2, K = 3, матрицы Г, Б и А имеют вид:
( г,
А=іГ j
1
"a1
2
Ъ
ao 0 0
1
-Ъ1
Ъ0
Ъ
3 j
На элементы второго столбца накладывается только условие нормировки. Поэтому второе уравнение системы неидентифицируемо. На элементы первого столбца помимо условия нормировки накладываются два исключающих ограничения: а41 = 0, а51 = 0 . При этом g* = 0, К = 2, g* + K* = 2 > g -1, так что первое уравнение идентифицируемо. Исключающие ограничения можно записать в форме Ф1а1 = 0, где
Ф1 =
(0 0 0 1 0Л 0 0 0 0 1
Тогда
Ф1А
(0 0 0 1 0Л 0 0 0 0 1
(
1
a1
2
0 0
1 Л
Ъ
Ъ0
Ъ
3j
( 0 Ъ2 Л 0 Ъз j
Ф1А1 =
(0 0 0 1 0 0 0 0
0 Л
(1, Ъ1, Ъo,К Ъ3 Ї =
( ъ2 Л
rank (Ф1А) = гапк(Ф1А1) = rank!
= 1,
так что rank (Ф1А) = g — 1 и для первого уравнения выполнено ранговое условие идентифицируемости. Поскольку g* + K1 > g — 1, то первое уравнение сверхидентифицируемо.
Приведем теперь пример системы, в которой присутствуют линейные ограничения неисключающего типа (упрощенный вариант модели мультипликатора-акселератора):
Ct = a0 + a1Yt + a2Ct—1 + "fl,
It = bo + b1 (Yt — Yt—1) + "t 2, Yt = C + It,
где Ct потребление, It инвестиции, Yt доход. Подставляя выражение для Yt из последнего тождества во второе уравнение, запишем систему в виде:
| Ct — a1Yt = a0 + a2Ct—1 + "t^ [— С, +(1 — b X = b0 — bJ—1 + "2.
Список эндогенных переменных: (Ct, Yt). Список предопределенных переменных: (1, Ct—1, Yt—1). Полный список: (Ct, Yt ,1, Ct—1,Yt—1). Матрица А: ( 1
— a1
— 1 Ї
А
a
0
1 — b1
a
2
b0
0
0
—b1
В первом столбце одно исключающее ограничение а51 = 0, т.е. Ф1а1 = 0, где Ф1 = (0 0 0 0 1). При этом
rank (Ф1А) = гапк(Ф1 А1) = rank(b1) = 1 = g -1, так что первое уравнение идентифицируемо. Поскольку
g;+к; = 1=g -1,
это уравнение идентифицируемо точно.
Во втором столбце одно исключающее ограничение а42 = 0 и одно неисключающее ограничение а12 +а22 = а52. Эту пару ограничений можно записать в виде Ф2а2 = 0, где
Ф2 =
( 0
1
0 ї
1
Тогда
Ф2А
(0
1
0 ї 0
rank (Ф2А) = 1,
так что rank (Ф2А) = g -1 и для второго уравнения также выполнено ранговое условие идентифицируемости. Поскольку же R2 = 2 > g -1, то второе уравнение сверхидентифицируемо.
З а м е ч а н и е 1
Константа играет в проблеме идентифицируемости такую же роль, что и остальные предопределенные переменные. Это илюстрирует следующий пример.
Мы уже выяснили ранее, что в системе
Qt = a0+a1pt + ut, jo = b0 + bP + vt
оба уравнения неидентифицируемы. Исключим константу из правой части второго уравнения:
lQt = a0 + a1Pt + ut,
[Q, = bp + vt.
На первый столбец матрицы А не накладывается никаких ограничений кроме нормировочных, так что g* = 0, K* = 0, и для первого уравнения не выполнено порядковое условие g* + K* > g -1. Следовательно первое уравнение не идентифицируемо. Однако на второй столбец на этот раз накладывается исключающее ограничение а32 = 0, т.е. Ф 2а2 = 0, где Ф 2 =(0 0 1).
При этом
rank (Ф 2А) = rank(a0 0) = гапк(Ф2 А1) = (a0) = 1 = g -1, так что второе уравнение идентифицируемо. Поскольку
g;+ к 2= 1 = g -1,
это уравнение идентифицируемо точно.
З а м е ч а н и е 2
Критерий идентифицируемости дает один и тот же результат в
отношении i -го стохастического структурного уравнения
(содержащего случайные ошибки в правой части) независимо от
того, рассматривается полная система вместе с тождествами или
система, в которой тождества учтены и исключены. Это илюстрирует следующий пример.
При исследовании вопроса об идентифицируемости модели Qd = a0 + a1P + ut,
Qs = bo + biP+vt, Qs = Qd
и различных ее расширений мы, исключая (и учитывая) тождество,
сводили эти модели к системам без тождеств, так что в правых
частях всех уравнений преобразованных систем присутствовали случайные ошибки. Поступая, например, таким образом с системой трех уравнений
Qd = a0 + aiPt + a2Yt + Ut,
<Qst = bo + bp + vt,
t
t
и обнаружили, что первое уравнение системы неидентифицируемо, а второе идентифицируемо точно.
Попоробуем проверить условия идентифицируемости непосредственно в рамках исходной системы трех уравнений, так что g = 3. Для этой системы список эндогенных переменных
полнее, чем у преобразованной системы: Qf, Qf,Pt), тогда как
список предопределенных переменных (l, Yt) не изменяется. Полный список содержит теперь 5 переменных: Qf, Qst, Pt ,1, Yt). Перенесем все эндогенные переменные в левые части уравнений:
= a0 + a2Yt + ut,
Qf q:=o,
Матрица А имеет вид:
0
А
( 1 0
a
a
V «2 0 1
bi
b0
0 1 Ї
-1 0 0 0
На элементы первого столбца накладывается исключающее
:0, т.е. Ф1#1 = 0, где Ф1 =(0 1 0 0 0). При
#21
ограничение этом
rank (Ф1А) = rank(0 1 -1) = 1 < g -1 = 2, так что первое уравнение неидентифицируемо. На элементы второго столбца накладывается А^2 = 2 исключающих ограничения:
:0 и #52 = 0, т.е. Ф2#2 = 0, где
Ф2 =
(1
0
000 000
0 Ї
1
При этом
rank (Ф2А) = rank!
1 ї
0
2=g-1,
так что
второе
уравнение идентифицируемо, причем
идентифицируемо точно, поскольку g 2 + А^2 = 2 = g -1. Результаты в отношении каждого из двух стохастических уравнений оказались одинаковыми для систем из трех и из двух уравнений.
До сих пор мы рассматривали только возможность восстановления коэффициентов структурных уравнений по коэффициентам приведенной формы. Однако идентифицируемость i -го стохастического структурного уравнения строго говоря означает не только идентифицируемость коэффициентов этого уравнения, но и идентифицируемость дисперсии случайной составляющей в этом уравнении. Идентифицируемость системы структурных уравнений в целом (на основании приведенной формы системы) означает не только идентифицируемость всех коэффициентов системы, но и идентифицируемость ковариационной матрицы случайных ошибок, входящих в правые части уравнений системы. При этом при восстановлении коэффициентов и ковариационной матрицы ошибок в структурной форме используются не только коэффициенты приведенной формы, но и ковариационная матрица ошибок в приведенной форме.
Обратимся опять к общей форме системы:
ytY = xtB + ut, t = n,
где
gl
Г :
ig
Ги ••• Y
gg j
в=1 m
An
Kg j
yt ={ytl,•■■,ytg), xt =(xtl,•■■,XK), ut =(Ut1,K,ug) и предполагается невырожденность матрицы Г . Приведенная форма
системы:
yt = xtвГ_1 + utГ_1 = xtn+wt,
где
П = ВГ 1
n1g
w
= ut Г-1 =(wt 1,..., wg ).
Kg J
Пусть
E(ut ) = 0 , Cov(uTut) = (fov(utl, J = I = {(Jj),
Cov(uJus) = (Cov(uti, usj)) = 0 для t Ф s .
так что ошибки не коррелированы по времени, но для одного и того же момента времени ошибки в разных уравнениях могут быть коррелированными между собой. Тогда E (wt ) = 0 и для
ковариационной матрицы Q = ((0у ) = Cov(wTtwt )=(Cov(wtl, ))
вектора wt ошибок в приведенном уравнении имеем:
Q = Cov(wt) = Cov(utГ-1) = (Г-1) I (Г-1),
так что
I = Гт.
Следовательно, если структурная система идентифицируема
(коэффициенты структурной системы однозначно
восстанавливаются по коэффициентам приведенной формы), то тогда, восстановив по коэффициентам приведенной формы матрицу Г , можно, используя эти восстановленные коэффициенты и матрицу Q, восстановить ковариационную матрицу I.
Если структурная форма не восстанавливается целиком, а возможно лишь восстановление некоторых ее уравнений, то тогда для полной идентификации i -го стохастического структурного уравнения надо восстановить все его коэффициенты и дисперсию случайной составляющей этого уравнения. Пусть нас интересует,
y1g
например, первое уравнение системы. Представим тогда матрицу Г в виде
(у у Л (У Л (у " Л
/11 ■■■ fig /11 /12 ■■■
у
у
Г = : O : = [у : Г ], где у = : Г = : O
gg j
Дисперсия случайной составляющей в первом структурном уравнении равна с11 =у[0.у1, так что для ее восстановления по приведенной форме достаточно предварительно восстановить только коэффициенты первого уравнения. Аналогично, если нас интересует i -е стохастическое структурное уравнение, то дисперсия случайной составляющей в этом структурном уравнении равна аи = уУQ у , где у i -й столбец матрицы Г, и для восстановления <Уй достаточно предварительно восстановить коэффициенты i -го уравнения.
В качестве примера рассмотрим опять структурную систему
{Qt = a0 + a1Pt + a2Yt + Ut,
la=ь0+bp+vt.
у2
Мы установили ранее, что в этой системе коэффициенты первого уравнения неидентифицируемы, а коэффициенты второго идентифицируемы точно. Для этой системы
a
( 1 1 Л ( 1 Л
Г
b
1 j
I b1 j
так что (поскольку ковариационные матрицы симметричны)
®2.
С02
22 jV
-b
1j
= а>11 2b1a12 + b^a2:
Оценив наряду с коэффициентами приведенной формы элементы ковариационной матрицы ошибок приведенной формы, можно получить оценку для коэффициента b1, а через нее и оценку для
D(vt).
З а м е ч а н и е 3
Если посмотреть на все примеры, в которых на уравнения накладывались только исключающие ограничения, то нетрудно заметить, что проверку рангового условия идентифицируемости i -го стохастического структурного уравнения по-существу можно проводить следующим образом.
Составляется таблица, в заголовке которой перечисляются эндогенные и предопределенные переменные, задействованные в системе, а в i -й строке находятся коэффициенты при этих переменных в левой и правой частях i -го уравнения (как они есть, без переносов в левую часть). Например, для системы
(Qt = а0 + ai Pt + a + ut,
Qi = b0 + bi Pt + b2 Rt + vt такая таблица принимает вид:
i | a | 1 | Rt | ||
1 | 1 | a2 | 0 | ||
2 1 b0 b0 | 0 | b2 |
Для исследования i -го уравнения достаточно рассмотреть матрицу, образованную теми столбцами таблицы, элементы которых, стоящие в i -й строке, равны нулю, и всеми строками таблицы кроме i -й. В рассматриваемом примере при исследовании 1-го уравнения такая матрица состоит из единственного элемента b2, а при исследовании 2-го уравнения из единственного элемента a2 . В обоих случаях ранг выделенной матрицы равен 1, и поскольку g — 1 = 1, оба уравнения идентифицируемы.
З а м е ч а н и е 4
В реальных ситуациях если порядковое условие выполнено, то, как правило, выполняется и ранговое условие. Приводимые в литературе контрпримеры носят явно искусственный характер. В качестве такого контрпримера выступает, например, система трех стохастических структурных уравнений
a11yt1 + a12 yt 2 + a13 yt 3 = a14 Xt1 + a15 Xt 2 + Ut1, j a21yt1 + a22yt2 + a23yt3 = a24Xt1 + a25Xt2 + Ut2, _ a31yt1 + a32 yt 2 + a33 yt3 = a34 Xt1 + a35 Xt 2 + Ut3,
в которой на коэффициенты первого уравнения накладываются линейные ограничения a14 = 0, a12 = a13. Эти ограничения записываются в стандартной форме как = 0 , где (0 0 0 1 0^ 1 V0 1 -10 0 у так что
Ф1 Л:
14
V a12 a13
a22 a23
34
a32 a33 j
a
( 0 0
a22 a23
a32 a33 j
Ранговое условие не выполняется, если строки этой матрицы пропорциональны. Последнее может осуществляться
если на уравнения системы накладываются одинаковые ограничения;
если переменная xt1 не входит в систему;
если коэффициенты при yt 2 и yt3 равны во всех уравнениях.
З а м е ч а н и е 5
До сих пор мы не предполагали никаких ограничений на ковариационную матрицу Е вектора ошибок в структурной форме. Между тем введение ограничений на структуру этой матрицы в некоторых ситуациях может помочь идентификации уравнений, которые без таких ограничений неидентифицируемы. В качестве примера рассмотрим систему
[Qt = a1Pt + a2Qt-1 + Щи Pt = b1Qt-1 + ut 2.
Здесь Pt и Qt эндогенные переменные, а единственной предопределенной переменной является Qt-1. При этом
(1 1Ї
Г:
0
a
так что соотношение ПГ
(1 1Ї
В = (a2 Ь1 ), П = (П11 П12 ),
(п11 П12)
= В принимает вид:
0
a.
(a2 Ь1 ),
откуда
(л-ц an Пц )=(a2 61), т.е.
a2 =п, a1n.
b1 =П11
Таким образом, единственный коэффициент второго уравнения восстанавливается по матрице П однозначно, а для восстановления двух коэффициентов первого уравнения имеется только одно уравнение, и первое уравнение оказывается неидентифицируемым.
Вспомним, однако соотношение между ковариационными матрицами ошибок в приведенной и структурной формах:
I = ГтQT . В нашем примере оно принимает вид:
12
V^21 °22 J
(1 1
a
0
V
J°21
О22 JV"
1
а
1 ї
0
_ щ1 2а1щ2 + а1а>22 щ1 а1ю2
Если предположить дополнительно, что <У12 =о21 = 0, т.е. ошибки в разных уравнениях не коррелированы между собой, то из последнего соотношения получаем: щ1 а1о21 = 0,
так что
коэффициент
а
первого структурного уравнения
a
восстанавливается по восстанавливается и
первого
уравнения: а2 =п11 а1п12. Тем самым оказывается идентифицируемым все первое уравнение структурной формы.
З а м е ч а н и е 6
Рассмотренная в Замечании 5 система
Qt = ар+а2<2+ u^
Pt = b1Qt-1 + Ut 2
при выполнении условия <J12 = <J21 рекурсивных систем. Благодаря последовательному определению переменных в таких системах при переходе от уравнения к уравнению в правых частях каждого из уравнений системы не оказывается переменных, значения которых коррелированы со значением ошибки в этом уравнении при одном и том же t . Во втором уравнении рассматриваемой системы Cov(Qt-1, ut 2 ) = 0, т. к. значение Qt-1 определяется ранее момента t . В правой части первого уравнения Cov(Qt-1, ut1) = 0 по той же причине и
Cov(Pt,ut1 ) = Cov(b1Qt-1 + ut2 ) = b1Cov(Qt-1, ut1 )+ Cov(ut2,ut1 ) = 0,
так что при выполнении условия <т12 = <т21 = 0 переменная Pt не является эндогенной. Если же <т12 Ф 0, то Pt становится эндогенной переменной, а система перестает быть рекурсивной.
Обсуждение Эконометрика для начинающих (Дополнительные главы)
Комментарии, рецензии и отзывы