2.6.6. проверка правильности спецификации системы одновременных уравнений
2.6.6. проверка правильности спецификации системы одновременных уравнений
Мы уже говорили выше (Замечание 3 в разд. 2.6.2) о возможности проверки адекватности i -го структурного уравнения,
опираясь на остатки u2SLS = yi — ZiS2SLS, полученные в результате применения двухшагового метода наименьших квадратов к этому уравнению, в отношении таких стандартных предположений как линейность уравнения, нормальность, гомоскедастичность и некоррелированность ошибок.
Между тем не менее важным является вопрос о правильности подразделения включенных в систему переменных на эндогенные и экзогенные переменные, произведенного на основании
соответствующих экономических и логических представлений о связях между переменными. Еще одна проблема спецификации структурных уравнений состоит в том, что сверхидентифицируемость i -го уравнения системы
У, = Y,a, + Xtet + иг = + иг может быть просто следствием того, что на коэффициенты этого уравнения наложены ограничения, которых в действительности нет. Например, из i -го уравнения могут быть ошибочно исключены некоторые предопределенные переменные, включенные в другие уравнения системы. Хотелось бы иметь какой-то статистический инструментарий, позволяющий ответить на такие вопросы. Ряд статистических критериев, служащих этой цели, использует следующую идею Хаусмана [Hausman (1978)].
Пусть для (p X1) -вектора параметров в имеются две различные
оценки в и в , причем оценка в состоятельна и при гипотезе H0 и при альтернативной гипотезе HA, а оценка в состоятельна и асимптотически эффективна при гипотезе H0 , но не является состоятельной при гипотезе HA . Рассмотрим разность этих двух
оценок q = в — в . Поскольку при гипотезе H0 обе оценки состоятельны, т. е. сходятся по вероятности к истинному значению в, то их разность q сходится по вероятности к нулю.
Следовательно, если гипотеза H0 верна, то мы не ожидаем больших отклонений значения q от нуля, и наличие таковых может трактоваться как указание на невыполнение гипотезы H0 .
Критерий Хаусмана для проверки правильности спецификации системы одновременных уравнений ([Hausman
(1978)]) использует в качестве в трехшаговую оценку наименьших
квадратов, а в качестве в двухшаговую оценку наименьших квадратов. Если все структурные уравнения специфицированы правильно, то 3SLS состоятельна и эффективна; если же хотя бы одно из уравнений специфицировано неправильно, то 3SLS перестает быть состоятельной оценкой.
Однако, как было отмечено в [Spencer, Berk (1981)], для применения этого критерия необходима спецификация всех структурных уравнений системы, тогда как на практике чаще представляет интерес правильность спецификации какого-то отдельного структурного уравнения. В таком случае речь идет о проверке правильности спецификации i -го структурного уравнения при ограниченной информации об остальной части системы (как при построении LIML оценки).
Статистика критерия Хаусмана определяется как
H = nqT [asCov(q)]~l q ,
где asCov(q) - состоятельная оценка асимптотической
ковариационной матрицы asCov(q) разности q = 0 — 0 , и при
выполнении достаточно общих условий гипотезе H0 имеет
асимптотическое распределение хи-квадрат. Некоторые трудности при использовании этой статистики вызывает то обстоятельство, что
компоненты вектора q = 0 — 0 в общем случае линейно зависимы, вследствие чего матрица asCov(q^) может быть вырожденной и не иметь обратной в обычном смысле. В связи с этим, в формуле для статистики H следует использовать не обычную обратную матрицу, а так называемую обобщенную обратную матрицу.
Указанные трудности можно обойти, используя различные асимптотически эквивалентные версии критерия Хаусмана, основанные на оценивании тех или иных уравнений регрессии. В таких вариантах этого критерия дело сводится к проверке значимости оцененных коэффициентов соответствующих уравнений.
Версия критерия Хаусмана, приведенная в [Davidson, MacKinnon (1993)] и называемая там критерием Дарбина-Ву-Хаусмана (Durbin-Wu-Hausman test), состоит в следующем.
Пусть yt = Ya + Xi0i + u = Zi8i + ut, X матрица значений инструментальных переменных, Yi матрица значений тех объясняющих переменных в i -м уравнении, которые не входят в состав инструментальных переменных и не являются линейными комбинациями последних. Гипотеза H0: в i -м уравнении отсутствует проблема эндогенности, т.е. все объясняющие переменные в составе Yi не коррелированы с ui. Иначе говоря, это гипотеза экзогенности (предопределенности) переменных, входящих в состав Yt. Если эта гипотеза выполнена, то оценивание i -го уравнения можно производить обычным методом наименьших квадратов (OLS). В противном случае надо применять метод инструментальных переменных.
Сначала производится OLS оценивание уравнений регрессии объясняющих переменных, входящих в состав Yi , на инструментальные переменные:
Y = X Пі + W
и вычисляются прогнозные значения Yi этих переменных. Затем эти прогнозные значения добавляются в качестве дополнительных объясняющих переменных в правую часть i -го уравнения, что приводит к расширенному уравнению
У г = Zi^t + Yt Ї+Лг ,
производится OLS оценивание расширенного уравнения и проверяется гипотеза H0: ї = 0. Для проверки этой гипотезы используется обычный F -критерий, хотя, вообще говоря, он является в этой ситуации только приближенным критерием.
Вместо Y в расширенном уравнении можно использовать остатки Wi = Yi — Yi, т.е. оценивать уравнение и проверять гипотезу H0: у = 0 в рамках этого уравнения. В любом случае отклонение гипотезы H0 трактуется как наличие проблемы эндогенности, вызывающей несостоятельность OLS оценок параметров -го структурного уравнения.
Еще один вариант критерия Хаусмана для проверки той же гипотезы состоит в следующем.
Наряду с остатками Wi = Yi — Yi, определенными выше, рассмотрим остатки ui, получаемые при оценивании i -го уравнения обычным методом наименьших квадратов (OLS). Пусть R2коэффициент детерминации, получаемый при OLS оценивании уравнения иi = ZiSi + Wi у+Е,{. Тогда при выполнении гипотезы экзогенности статистика nR2 имеет асимптотическое (при п — °°) распределение X2 (gi), где gi количество переменных в составе Yi. Эта гипотеза отвергается при nR2 >X—a(gi), где (x выбранный уровень значимости критерия.
Можно указать и некоторые другие варианты реализации критерия Хаусмана для проверки гипотезы об отсутствии проблемы эндогенности в i -м уравнении. Но как бы там ни было, прежде чем производить проверку тех или иных переменных, включенных в структурное уравнение, на эндогенность, рекомендуется предварительно провести проверку пригодности самих выбранных инструментов. Такую проверку можно провести в том случае, когда количество имеющихся инструментов превышает их необходимое количество, и сделать это можно, используя, например, J-статистику, предложенную в работе [Godfrey, Hutton (1994)].
Пусть для очистки эндогенных переменных, входящих в правую часть i -го уравнения системы
у, = Yx, + Хгвг + иг = ZXSX + иг используется уравнение
Y = X Пі + W,
где X матрица значений инструментальных переменных.
Применив к -му уравнению двухшаговый метод наименьших квадратов, получим 2SLS-остатки в виде
"2SLS ry ?2SLS
После этого оценим линейную модель регрессии ut на
переменные, входящие в состав X. Пусть R2 полученное при этом значение коэффициента детерминации. Указанная J -статистика равна J = nR2 и имеет асимптотическое (при n — °°) распределение хи-квадрат с числом степеней свободы, равным разности между количеством переменных в составе X и количеством объясняющих переменных в первом уравнении.
Гипотеза пригодности выбранного множества инструментов отвергается при значениях J -статистики, превышающих критическое значение, рассчитанное по указанному хи-квадрат распределению (т.е. при значениях J -статистики, для которых P -значение оказывается меньше заданного уровня значимости). Если это происходит, то тогда нет смысла заниматься IV оцениванием коэффициентов рассматриваемого уравнения с выбранным множеством инструментов, поскольку в этом случае или сами эти инструменты непригодны или уравнение неправильно специфицировано.
Если указанная гипотеза не отвергается J -критерием, то тогда переходят ко второму шагу, на котором используется критерий Хаусмана (в том или ином его варианте) для проверки переменных в і -м уравнении системы на эндогенность/экзогенность.
В работе [Godfrey, Hutton (1994)] показано, что статистики, используемые в такой двухступенчатой процедуре, асимптотически независимы, так что вероятность ошибочного решения в этой процедуре приближенно равна 1 — (1 — aJ )(1 — aH ) = где aJ уровень значимости J -критерия, а aH уровень значимости критерия Хаусмана, используемого на втором шаге.
З а м е ч а н и е 8
Отклонение нулевой гипотезы при применении критериев экзогенности означает только, что проблема эндогенности существует. Однако степень влияния обнаруженной эндогенности на смещение обычных оценок наименьших квадратов остается при этом неизвестной. Вместе с тем, мощность критериев типа Хаусмана становится довольно низкой, если инструменты слабо коррелированы с эндогенными переменными. И это означает, что
нулевая гипотеза экзогенности может быть не отвергнута, а
смещение OLS оценок в то же время велико. Поэтому во многих практических исследованиях авторы сообщают и результаты ГУ-оценивания и результаты OLS-оценивания.
Обсуждение Эконометрика для начинающих (Дополнительные главы)
Комментарии, рецензии и отзывы